（本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 P-A B…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【解析】（1）因为 $P A \perp$ 平面 $A B C D, B D \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $P A \perp B D$ ．
又 $A C \perp B D, P A, A C$ 是平面 $P A C$ 内的两条相交直线，所以 $B D \perp$ 平面 $P A C$ ．
而 $P C \subset$ 平面 $P A C$ ，所以 $B D \perp P C$ ．
（II）设 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，连结 $P O$ ，由（I）知，$B D \perp$ 平面 $P A C$ ，所以 $\angle D P O$ 是直线 $P D$ 和平面 $P A C$ 所成的角。从而 $\angle D P O=30^{\circ}$ ．由 $B D \perp$ 平面 $P A C, P O \subset$ 平面 $P A C$知 $B D \perp P O$ ，在 Rt $\triangle P O D$ 中，由 $\angle D P O=30^{\circ}$ 得 $P D=2 O D$ ．

因为四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，$A C \perp B D$ ，所以 $\triangle A O D, \triangle B O C$ 均为等腰直角三角形，从而梯形 $A B C D$ 的高为 $\frac{1}{2} A D+\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2}(4+2)=3$ ，于是梯形 $A B C D$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times(4+2) \times 3=9$.

在等腰直角三角形中，$O D=\frac{\sqrt{2}}{2} A D=2 \sqrt{2}$ ，
所以 $P D=2 O D=4 \sqrt{2}, P A=\sqrt{P D^{2}-A D^{2}}=4$ ，
故四棱锥的体积为 $V=\frac{1}{3} \times S \times P A=\frac{1}{3} \times 9 \times 4=12$
【考点定位】立体几何的垂直关系的证明和体积的计算