【解答】
【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分．
## 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4－1：几何证明选讲
（本小题满分 10 分）
如图，圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 内切于点 $A$ ，其半径分别为 $r_{1}$ 与 $r_{2}\left(r_{1}>r_{2}\right)$ ．圆 $O_{1}$的弦 $A B$ 交圆 $O_{2}$ 于点 $C$（ $O_{1}$ 不在 $A B$ 上）．求证：$A B: A C$ 为定值．
B．选修 4－2：矩阵与变换
（本小题满分 10 分）
（第21－A遮）
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ ，向量 $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]$ ．求向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}$ ．
C．选修 4－4：坐标系与参数方程
（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，求过椭圆 $\left\{\begin{array}{l}x=5 \cos \varphi \\ y=3 \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数）的右焦点，且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=4-2 t, \\ y=3-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修 4－5：不等式选讲
（本小题满分 10 分）
解不等式 $x+|2 x-1|<3$ ．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【解答】
【选做题】
A．选修 4－1：几何证明选讲
本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分．
证明：连结 $A O_{1}$ ，并延长分别交两圆于点 $E$ 和点 $D$ 。连结 $B D, C E$ ，因为圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 内切于点 $A$ ，所以点 $O_{2}$ 在 $A D$ 上．故 $A D$ ， $A E$ 分别为圆 $O_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 的直径．
从而 $\angle A B D=\angle A C E=\frac{\pi}{2}$ ．所以 $B D / / C E$ ，于是 $\frac{A B}{A C}=\frac{A D}{A E}=\frac{2 r_{1}}{2 r_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}$ ．
（第 21－A 题）
所以 $A B: A C$ 为定值．
B．选修 4－2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力，满分 $\mathbf{1 0}$ 分．
解： $\boldsymbol{A}^{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right]$ ，
设 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]$ ．由 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}$ ，得 $\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]$ ，从而 $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=1, \\ 4 x+3 y=2 .\end{array}\right.$
解得 $x=-1, y=2$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right]$ ．
C．选修 4－4：坐标系与参数方程
本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．满分 $\mathbf{1 0}$ 分．
解：由题设知，稀圆的长半轴长 $a=5$ ，短半轴长 $b=3$ ，从而 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$ ，所以右焦点为 $(4,0)$ ．将已知直线的参数方程化为普通方程：$x-2 y+2=0$ ．
故所求直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，因此其方程为 $y=\frac{1}{2}(x-4)$ ，即 $x-2 y-4=0$ ．
## D．选修 4－5：不等式选讲
本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．满分 10 分．
解：原不等式可化为 $\left\{\begin{array}{l}2 x-1 \geqslant 0, \\ x+(2 x-1)<3 ;\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}2 x-1<0, \\ x-(2 x-1)<3 \text { ．}\end{array}\right.$
解得 $\frac{1}{2} \leqslant x<\frac{4}{3}$ 或 $-2所以原不等式的解集是 $\left\{x \left\lvert\,-2
求证：$A B: A C$ 为定值．