21．［选做题］本题包括 $A , B , C , D$ 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
（本小题满分 10 分）
如图，圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 内切于点 $A$ ，其半径分别为 $r_{1}$ 与 $r_{2}$（ $r_{1}>r_{2}$ ）。圆 $O_{1}$ 的弦 $A B$ 交圆 $O_{2}$ 于点 $C$（ $O_{1}$ 不在 $A B$ 上）
求证：$A B: A C$ 为定值．
B. 选修4－2：矩阵与变换
（本小题满分 10 分）
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ ，向量 $\beta=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]$ ．求向量 $\alpha$ ，使得 $\boldsymbol{A}^{2} \alpha=\beta$ ．
C. 选修4－4：坐标系与参数方程
（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，求过椭圆 $\left\{\begin{array}{l}x=5 \cos \varphi \\ y=3 \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数）的右焦点，且与直线
$\left\{\begin{array}{l}x=4-2 t \\ y=3-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）平行的直线的普通方程．
D. 选修4－5：不等式选讲
（本小题满分 10 分）
解不等式：$x+|2 x-1|<3$ ．