2011 江苏卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{-1,1,2,4\}, B=\{-1,0,2\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ A。

2．函数 $f(x)=\log _{5}(2 x+1)$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ A。

3．设复数 $z$ 满足 $i(z+1)=-3+2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的实部是 $\_\_\_\_$ A

4．根据如图所示的伪代码，当输入 $a, b$ 分别为 2,3 时，最后输出的 $m$ 的值 $ \begin{aligned} & \text { Read } a, b \\ & \text { If } a>b \text { Then } \\ & \quad \mathrm{m} \leftarrow a \end{aligned} $ Else $\mathrm{m} \leftarrow b$ End If Print m为 $\_\_\_\_$ A ．

5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 $\_\_\_\_$ A。

6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 $10,6,8,5,6$ ，则该组数据的方差 $s^{2}=$ $\_\_\_\_$ A ．

7．已知 $\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2$ ，则 $\frac{\tan x}{\tan 2 x}$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过坐标原点的一条直线与函数 $f(x)=\frac{2}{x}$ 的图象交于 $P , Q$ 两点，则线段 $P Q$ 长的最小值是 $\_\_\_\_$ A ．

9．函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A, \omega, \varphi$ 是常数， $A>0, \omega>0)$ 的部分图象如图所示，则 $f(0)$ 的  值是 $\_\_\_\_$ ．

10．已知 $\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2}{3} \pi$ 的两个单位向量，$\vec{a}=\overrightarrow{e_{1}}-2 \overrightarrow{e_{2}}, \vec{b}=k \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则实数 $k$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

11．已知实数 $a \neq 0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+a, x<1 \\ -x-2 a, x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(1-a)=f(1+a)$ ，则 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ A。

12．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f(x)=e^{x}(x>0)$ 的图象上的动点，该图象在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$ ，设线段 $M N$的中点的纵坐标为 $t$ ，则 $t$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ A ．

13．设 $1=a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{7}$ ，其中 $a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}$ 成公比为 $q$ 的等比数列，$a_{2}, a_{4}, a_{6}$ 成公差为 1 的等差数列，则 $q$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

14．设集合 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{m}{2} \leq(x-2)^{2}+y^{2} \leq m^{2}\right., x, y \in R\right\}, B=\{(x, y) \mid 2 m \leq x+y \leq 2 m+1, x, y \in R\}$ ，若 $A \cap B \neq \varnothing$ ，则实数 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ A ．

15．（本小题满分 14 分） 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ． （1）若 $\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)=2 \cos A$ ，求 $A$ 的值； （2）若 $\cos A=\frac{1}{3}, b=3 c$ ，求 $\sin C$ 的值．

16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, A B=A D, \angle B A D=60^{\circ}, E, F$ 分别是  $A P, A D$ 的中点． 求证：（1）直线 $E F / /$ 平面 $P C D$ ； （2）平面 $B E F \perp$ 平面 $P A D$ ．

17．（本小题满分 14 分） 请你设计一个包装盒，如图所示，$A B C D$ 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A, B, C, D$ 四个点重合于图中的点 $P$ ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，$E, F$ 在 $A B$ 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点。设 $A E=F B=x(\mathrm{~cm})$ ． （1）某广告商要求包装盒的侧面积 $S\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ 最大，试问 $x$ 应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积 $V\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$ 最大，试问 $x$ 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．  

18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M, N$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P, A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ，连接 $A C$ ，并延长交椭圆于点 $B$ ．设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ． ①当直线 $P A$ 平分线段 $M N$ ，求 $k$ 的值； ②当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$ ；  （3）对任意 $k>0$ ，求证：$P A \perp P B$ ．

19．（本小题满分 16 分） 已知 $a, b$ 是实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x, g(x)=x^{2}+b x, f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数．若 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$上单调性一致． （1）设 $a>0$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围； ②设 $a<0$ 且 $a \neq b$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a, b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值．

20．（本小题满分16分） 设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，已知对任意整数 $k \in M$ ，当 $n>k$ 时，$S_{n+k}+S_{n-k}=2\left(S_{n}+S_{k}\right)$ 都成立。 （1）设 $M=\{1\}, a_{2}=2$ ，求 $a_{5}$ 的值； ②设 $M=\{3,4\}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式． 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） ## 数学II（附加题）

21．［选做题］本题包括 $A , B , C , D$ 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． 若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分 10 分） 如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2$ ， $A B=1$ ，点 $N$ 是 $B C$ 的中点，点 $M$ 在 $C C_{1}$ 上． 设二面角 $A_{1}-D N-M$ 的大小为 $\theta$ ． ①当 $\theta=90^{\circ}$ 时，求 $A M$ 的长； ②当 $\cos \theta=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求 $C M$ 的长． 

23．（本小题满分 10 分） 设整数 $n \geq 4, P(a, b)$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 中的点，其中 $a, b \in\{1,2,3, \ldots, n\}$ ， $a>b$. （1）记 $A_{n}$ 为满足 $a-b=3$ 的点 $P$ 的个数，求 $A_{n}$ ； （2）记 $B_{n}$ 为满足 $\frac{1}{3}(a-b)$ 是整数的点 $P$ 的个数，求 $B_{n}$ ．