2020_江苏卷
22.如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为 $\omega$ 。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为 $_ { I g }$ 。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
(1) $\nu = 2 R \omega$; (2) $F = m \sqrt { 4 R ^ { 2 } \omega ^ { 4 } + g ^ { 2 } }$; (3) $H = \frac { \big ( M + 1 6 m \big ) R ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { 2 M g }$
【答案】 $( 1 ) \nu = 2 R \omega$ ；② $F = m \sqrt { 4 R ^ { 2 } \omega ^ { 4 } + g ^ { 2 } }$ ；③ $H = \frac { \big ( M + 1 6 m \big ) R ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { 2 M g }$
【解析】
【详解】(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为
$$ \nu = 2 R \omega $$
(2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有
$$ \sqrt { F ^ { 2 } - \left( m g \right) ^ { 2 } } = m \frac { \nu ^ { 2 } } { 2 R } $$
结合(1)可解得杆对球的作用力大小为
$$ F = m \sqrt { 4 R ^ { 2 } \omega ^ { 4 } + g ^ { 2 } } $$
> ③设重物下落高度为H，重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械 能守恒可知
$$ M g H = \frac { 1 } { 2 } M \nu _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \ 4 m \nu ^ { 2 } $$
而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有
$$ \nu _ { 1 } = R \omega $$
联立各式解得
$$ H = \frac { \big ( M + 1 6 m \big ) R ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { 2 M g } $$