2023_全国甲卷
17. 记 ${ \triangle A B C }$ 的内角A B C, , 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $\frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { \cos A } = 2$
（1）求bc；
（2）若 $\frac { a \mathrm { c o s } B - b \mathrm { c o s } A } { a \mathrm { c o s } B + b \mathrm { c o s } A } - \frac { b } { c } = 1$ ，求 $\triangle A B C$ 面积
(1) 1 >; (2) $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）1
> ② $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
> ②由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出
【小问1详解】
因为 $a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c \cos A$ ，所以 $\frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { \cos A } = \frac { 2 b c \cos A } { \cos A } = 2 b c = 2$ ，解得： $b c = 1$
【小问 2 详解】
由正弦定理可得 $\frac { a \cos B - b \cos A } { a \cos B + b \cos A } - \frac { b } { c } = \frac { \sin A \cos B - \sin B \cos A } { \sin A \cos B + \sin B \cos A } - \frac { \sin B } { \sin C }$
$$ = \frac {\sin (A - B)}{\sin (A + B)} - \frac {\sin B}{\sin (A + B)} = \frac {\sin (A - B) - \sin B}{\sin (A + B)} = 1, $$
变形可得： $\sin \left( A - B \right) - \sin \left( A + B \right) = \sin B$ ，即 $- 2 \cos A \sin B = \sin B$
而 $0 < \sin B { \leqslant } 1$ ，所以 $\cos A = - { \frac { 1 } { 2 } }$ ，又 $0 < A < \pi$ ，所以 $\sin A = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
故 ${ \triangle A B C }$ 的面积为 $S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } b c \sin { A } = \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$