如图，在四棱锥 P-A B C D 中， A D C 与…——2025 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

② $\frac{\sqrt{3}}{3}$

【解析】
【分析】（1）取 $P A$ 的中点 $N, P B$ 的中点 $M$ ，连接 $F N , M N$ ，只需证明 $F G / / M N$ 即可；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线 $A B$ 的方向向量与面 $P C D$ 的法向量，根据向量夹角公式即可求解。

【小问 1 详解】
取 $P A$ 的中点 $N, P B$ 的中点 $M$ ，连接 $F N , M N$ ，
$\because \square A C D$ 与 $\mathrm{V} A B C$ 为等腰直角三角形且 $\angle A D C=90^{\circ}, \angle B A C=90^{\circ}$ ，
不妨设 $A D=C D=2, \therefore A C=A B=2 \sqrt{2} \therefore B C=4$ ．
$\because E , F$ 分别为 $B C , P D$ 的中点，
$\therefore F N=\frac{1}{2} A D=1, G M=\frac{1}{2} B E=1$ ，且 $F N / / A D, G M / / B C$ ．

$\mathrm{Q} \angle D A C=45^{\circ}, \quad \angle A C B=45^{\circ}, \therefore A D / / B C$ ，
$\therefore F N / / G M, \therefore$ 四边形 $F G M N$ 为平行四边形，
$\therefore F G / / M N$ ，
$\because F G \not \subset$ 平面 $P A B, M N \subset$ 平面 $P A B, \therefore F G / /$ 平面 $P A B$ ；
【小问 2 详解】
∵ $P A \perp$ 平面 $A B C D, \therefore$ 以 $A$ 为原点，$A C , A B , A P$ 所在直线分别为 $x , y , z$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设 $A D=C D=2$ ，则 $A(0,0,0), B(0,2 \sqrt{2}, 0), C(2 \sqrt{2}, 0,0), D(\sqrt{2},-\sqrt{2}, 0), P(0,0,2 \sqrt{2})$ ，
$\therefore \overrightarrow{A B}=(0,2 \sqrt{2}, 0), \overrightarrow{D C}=(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0), \overrightarrow{C P}=(-2 \sqrt{2}, 0,2 \sqrt{2})$ ，
设平面 $P C D$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{D C} \cdot \vec{n}=0 \\ \overrightarrow{C P} \cdot \vec{n}=0\end{array}, \quad \therefore\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} x+\sqrt{2} y=0 \\ -2 \sqrt{2} x+2 \sqrt{2} z=0\end{array}\right.\right.$ ，
取 $x=1, \quad \therefore y=-1, z=1, \quad \therefore \vec{n}=(1,-1,1)$ ．
设 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角 $\theta$ ，
则 $\sin \theta=|\cos \square \overrightarrow{A B}, \vec{n} \square|=\frac{|\overrightarrow{A B} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{|0 \times 1+2 \sqrt{2} \times(-1)+0 \times 1|}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
即 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．