（本小题满分 14 分） 已知 α, β 为锐角， tan…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分 $\mathbf{1 4}$ 分．

解：（1）因为 $\tan \alpha=\frac{4}{3}, \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ ，所以 $\sin \alpha=\frac{4}{3} \cos \alpha$ ．
因为 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$ ，所以 $\cos ^{2} \alpha=\frac{9}{25}$ ，
因此， $\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=-\frac{7}{25}$ ．
（2）因为 $\alpha, \beta$ 为锐角，所以 $\alpha+\beta \in(0, \pi)$ ．
又因为 $\cos (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，所以 $\sin (\alpha+\beta)=\sqrt{1-\cos ^{2}(\alpha+\beta)}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，因此 $\tan (\alpha+\beta)=-2$ 。

因为 $\tan \alpha=\frac{4}{3}$ ，所以 $\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=-\frac{24}{7}$ ，
因此， $\tan (\alpha-\beta)=\tan [2 \alpha-(\alpha+\beta)]=\frac{\tan 2 \alpha-\tan (\alpha+\beta)}{1+\tan 2 \alpha \tan (\alpha+\beta)}=-\frac{2}{11}$ ．