利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，…——2023 高考物理第 23 题答案解析

【答案】（1） $\nu _ { 1 } = \frac { 2 B _ { 1 } q L } { m }$ ； $t = \frac { 2 \pi m } { 3 q B _ { 1 } }$ ② $\nu _ { { } _ { 2 } } = { \frac { 4 B _ { 1 } q L } { m } }$ （3）60%

【解析】

【详解】①当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系

$$ r _ {1} \cos 6 0 ^ {\circ} = r _ {1} - L $$

解得

$$ r_1 = 2L $$

根据

$$ q v _ {1} B _ {1} = m \frac {v _ {1} ^ {2}}{r _ {1}} $$

解得

$$ v _ {1} = \frac {2 B _ {1} q L}{m} $$

在磁场中运动的周期

$$ T = \frac {2 \pi m}{q B _ {1}} $$

运动时间

$$ t = \frac {2 \times 6 0 ^ {\circ}}{3 6 0 ^ {\circ}} T = \frac {2 \pi m}{3 q B _ {1}} $$

（2）若 $B _ { 2 } { = } 2 B _ { 1 }$ ，根据

$$ r = \frac {m v}{q B} $$

可知

$$ r _ {1} = 2 r _ {2} $$

粒子在磁场中运动轨迹如图，设 $O _ { 1 } O _ { 2 }$ 与磁场边界夹角为α，由几何关系

$$ r _ {1} \sin \alpha - r _ {1} \sin 3 0 ^ {\circ} = L $$

$$ r _ {2} - r _ {2} \sin \alpha = \frac {L}{2} $$

解得

$$ r_2 = 2L $$

$$ \sin \alpha = \frac {3}{4} $$

根据

$$ q v _ {2} B _ {2} = m \frac {v _ {2} ^ {2}}{r _ {2}} $$

解得

$$ v _ {2} = \frac {4 B _ {1} q L}{m} $$

> ③当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理

$$ B _ {2} q v _ {y} \Delta t = m \Delta v _ {x} $$

即

$$ \frac {B _ {1}}{L} y q \Delta y = m \Delta v _ {x} $$

求和可得

$$ \sum \frac {B _ {1}}{L} y q \Delta y = \sum m \Delta v _ {x} $$

粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中

$$ m (v - v \cos 6 0 ^ {\circ}) = B _ {1} q L + \frac {B _ {1}}{L} \cdot \frac {0 + L}{2} \cdot q L $$

解得

$$ v = \frac {3 B _ {1} q L}{m} $$

则速度在 $\frac { 3 B _ { 1 } q L } { m } { \sim } \frac { 6 B _ { 1 } q L } { m }$ 之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在 $\frac { B _ { 1 } q L } { m }$ $\sim \frac { 6 B _ { 1 } q L } { m }$ ，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为

$$ \eta = 60\% $$