2022_新课标I卷
16. 已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ ，C的上顶点为A，两个焦点为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ ，离心率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ．过 $F _ { 1 }$ 且垂直于 $A F _ { 2 }$ 的直线与C交于D，E两点， $\mid D E \mid = 6$ ，则 $\triangle A D E$ 的周长是
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用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】13
【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } } = 1$ ，即 $3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 1 2 c ^ { 2 } = 0$ ，根据离心率得到直线 $A F _ { 2 }$ 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程： $x = { \sqrt { 3 } } y - c$ ，代入椭圆方程 $3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 1 2 c ^ { 2 } = 0$ ，整理化简得到：$1 3 y ^ { 2 } - 6 \sqrt { 3 } c y - 9 c ^ { 2 } = 0$ ，利用弦长公式求得 $c = \frac { 1 3 } { 8 }$ ，得 $a = 2 c = \frac { 1 3 } { 4 }$ ，根据对称性将$\triangle A D E$ 的周长转化为 $\triangle F _ { 2 } D E$ 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 $4 a = 1 3$
【详解】∵椭圆的离心率为 $e = \frac { c } { a } = \frac { 1 } { 2 }$ ，∴a c= 2 ，∴ $b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 3 c ^ { 2 }$ ，∴椭圆的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } = 1$ ，即 $3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 1 2 c ^ { 2 } = 0$ ，不妨设左焦点为 $F _ { 1 }$ ，右焦点为 $F _ { 2 }$ ，如图所示，∵ AF a OF c a c= = =， ， 2 ， $\therefore \angle A F _ { 2 } O = \frac { \pi } { 3 } , \therefore \triangle A F _ { 1 } F _ { 2 }$ 为正三角形，∵过 $F _ { 1 }$ 且垂直于 $A F _ { 2 }$ 的直线与C交于D，E两点，DE为线段 $A F _ { 2 }$ 的垂直平分线， $\therefore$ 直线DE的斜率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，斜率倒数为 $\sqrt { 3 }$ ， 直线DE的方程： $x = \sqrt { 3 } y - c$ ，代入椭圆方程$3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 1 2 c ^ { 2 } = 0$ ，整理化简得到： $1 3 y ^ { 2 } - 6 \sqrt { 3 } c y - 9 c ^ { 2 } = 0$ 判别式 ${ \bullet = \left( 6 { \sqrt { 3 } } c \right) ^ { 2 } + 4 \times 1 3 \times 9 c ^ { 2 } = 6 ^ { 2 } \times 1 6 \times c ^ { 2 } }$ $\therefore \left| C D \right| = { \sqrt { 1 + \left( { \sqrt { 3 } } \right) ^ { 2 } } } \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| = 2 \times { \frac { \sqrt { \bullet } } { 1 3 } } = 2 \times 6 \times 4 \times { \frac { c } { 1 3 } } = 6 \ ,$ $\therefore c = { \frac { 1 3 } { 8 } }$ ， 得 $a = 2 c = \frac { 1 3 } { 4 }$ $\because D E$ 为线段 $A F _ { 2 }$ 的垂直平分线，根据对称性， $A D = D F _ { 2 } , ~ A E = E F _ { 2 } , ~ \therefore \triangle A D E$ 的周长等于 $\triangle F _ { 2 } D E$ 的周长，利用椭圆的定义得到 $\triangle F _ { 2 } D E$ 周长为
$$ \left| D F _ {2} \right| + \left| E F _ {2} \right| + \left| D E \right| = \left| D F _ {2} \right| + \left| E F _ {2} \right| + \left| D F _ {1} \right| + \left| E F _ {1} \right| = \left| D F _ {1} \right| + \left| D F _ {2} \right| + \left| E F _ {1} \right| + \left| E F _ {2} \right| = 2 a + 2 a = 4 a = 1 3 $$
故答案为：13.
