2016_江苏卷
23．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { x } = 1 + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { t } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { t } } \end{array} \right.$ （t为参数），椭圆C的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \cos { \boldsymbol { \Theta } } } \\ { \mathbf { y } = 2 \sin { \boldsymbol { \Theta } } } \end{array} \right. }$ （θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解答】
（2016•江苏）在平面直角坐标系 $\mathbf { \nabla } _ { \mathbf { X } } \mathbf { O y }$ 中，已知直线l的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { x } = 1 + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { t } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { t } } \end{array} \right.$ （t为参数），椭圆C的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \cos { \boldsymbol { \Theta } } } \\ { \mathbf { y } = 2 \sin { \boldsymbol { \Theta } } } \end{array} \right. }$ （θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长
【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案【解答】解：由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle \mathbf { x } { = } 1 { + } { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { t } \textcircled { 1 } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } { = } { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \mathbf { t } \textcircled { 2 } } \end{array} } \right.$ ，由②得 $\tan \angle \sqrt { 3 } ^ { \circ } y =$ 代入①并整理得， ${ \sqrt { 3 } } x - y - { \sqrt { 3 } } = 0$ 由 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \cos { \boldsymbol { \Theta } } } \\ { \mathbf { y } = 2 \sin { \boldsymbol { \Theta } } } \end{array} \right. }$ ，得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \tt x { = } { \tt c o s } \ominus } \\ { { \tt y } } \\ { { \tt 2 } } \end{array} \right. = { \tt s i n } \ominus$ 两式平方相加得 $\mathbf { x } ^ { 2 } + \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ 联 $\scriptstyle { \frac { \ i \ b { \check { \tau } } } { \underline { { \tilde { \tau } } } } } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \sqrt { 3 } } \mathbf { x } - \mathbf { y } - \displaystyle { \sqrt { 3 } } = 0 } \\ { \displaystyle { \frac { \ i \ b { \check { \tau } } } { \mathbf { x } } } ^ { 2 } + { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } } = 1 } \end{array} \right. }$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l } { \mathbf { x } = 1 } \\ { \mathbf { y } = 0 } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mathbf { x } = - \frac { 1 } { 7 } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = - \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 7 } } \end{array} \right. .$ $\therefore \vert \mathbf { A B } \vert = \sqrt { ( 1 + \frac { 1 } { 7 } ) ^ { 2 } + ( 0 + \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 7 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 6 } { 7 } \cdot$
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题