（17）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=2…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的性质等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。
（ I ）解：

$$ \begin{aligned} f(x) & =2 \cdot \frac{1+\cos 2 \omega x}{2}+\sin 2 \omega x+1 \\ & =\sin 2 \omega x+\cos 2 \omega x+2 \\ & =\sqrt{2}\left(\sin 2 \omega x \cos \frac{\pi}{4}+\cos 2 \omega x \sin \frac{\pi}{4}\right)+2 \\ & =\sqrt{2} \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{4}\right)+2 \end{aligned} $$

由题设，函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $\frac{\pi}{2}$ ，可得 $\frac{2 \pi}{2 \omega}=\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\omega=2$ ．
（II）由（I）知，$f(x)=\sqrt{2} \sin \left(4 x+\frac{\pi}{4}\right)+2$ ．
当 $4 x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$ ，即 $x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{2}(k \in Z)$ 时， $\sin \left(4 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 取得最大值 1 ，所以函数
$f(x)$ 的最大值是 $2+\sqrt{2}$ ，此时 $x$ 的集合为 $\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{2}\right., k \in Z\right\}$ ．