2008 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）设集合 $U=\{x \in N \mid 0<x \leq 8\}, S=\{1,2,4,5\}, T=\{3,5,7\}$ ，则 $S \cap\left(\widehat{\varpi}_{U} T\right)=$

（2）设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-y \geq 0 \\ x+y \leq 1 \\ x+2 y \geq 1\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=5 x+y$ 的最大值为

（3）函数 $y=1+\sqrt{x} \quad(0 \leq x \leq 4)$ 的反函数是

（4）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项和 $S_{5}=25$ ，且 $a_{2}=3$ ，则 $a_{7}=$

（5）设 $a, b$ 是两条直线，$\alpha, \beta$ 是两个平面，则 $a \perp b$ 的一个充分条件是

（6）把函数 $y=\sin x \quad(x \in R)$ 的图象上所有点向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

（7）设椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m>0, n>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点相同，离心 率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的方程为

（8）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{rc}x+2, & x \leq 0 \\ -x+2, & x>0\end{array}\right.$ ，则不等式 $f(x) \geq x^{2}$ 的解集是

（9）设 $a=\sin \frac{5 \pi}{7}, b=\cos \frac{2 \pi}{7}, c=\tan \frac{2 \pi}{7}$ ，则

（10）设 $a>1$ ，若对于任意的 $x \in[a, 2 a]$ ，都有 $y \in\left[a, a^{2}\right]$ 满足方程 $\log _{a} x+\log _{a} y=3$ ，这时 $a$ 的取值集合为

（11）一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人。为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 $\_\_\_\_$人。

（12）$\left(x+\frac{2}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中，$x^{3}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）．

（13）若一个球的体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ ，则它的表面积为 $\_\_\_\_$ ．

（14）已知平面向量 $\vec{a}=(2,4), \vec{b}=(-1,2)$ ．若 $\vec{c}=\vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ ，则 $|\vec{c}|=$ $\_\_\_\_$

（15）已知圆 C 的圆心与点 $P(-2,1)$ 关于直线 $y=x+1$ 对称．直线 $3 x+4 y-11=0$ 与圆 C相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=6$ ，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

（16）有 4 张分别标有数字 $1,2,3,4$ 的红色卡片和 4 张分别标有数字 $1,2,3,4$ 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行。如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ，则不同的排法共有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）。

（17）（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=2 \cos ^{2} \omega x+2 \sin \omega x \cos \omega x+1 \quad(x \in R, \omega>0)$ 的最小值正周期是 $\frac{\pi}{2}$ ． （I）求 $\omega$ 的值； （II）求函数 $f(x)$ 的最大值，并且求使 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合．

（18）（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，且乙投球 2 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ ． （I）求乙投球的命中率 $p$ ； （II）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； （III）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率．

（19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形．已知 $A B=3, A D=2, P A=2, P D=2 \sqrt{2}, \angle P A B=60^{\circ}$ ． （I）证明 $A D \perp$ 平面 $P A B$ ； （II）求异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角的大小； （III）求二面角 $P-B D-A$ 的大小。 

（20）（本小题满分 12 分） 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=(1+q) a_{n}-q a_{n-1}(n \geq 2, q \neq 0)$ 。 （I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列； （II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （III）若 $a_{3}$ 是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，求 $q$ 的值，并证明：对任意的 $n \in N^{*}, a_{n}$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项．

（21）（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b(x \in R)$ ，其中 $a, b \in R$ ． （I）当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性； （II）若函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围； （III）若对于任意的 $a \in[-2,2]$ ，不等式 $f(x) \leq 1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．

（22）（本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$ ，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x-2 y=0$ ． （I）求双曲线 C 的方程； （II）若以 $k(k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 C 相交于两个不同的点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围．