（本小题满分12分） DABC中，角A，B，C所对的边分别…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（本小题满分12分）

在 $\Delta A B C$ 中，角A,B,C所对的边分别是 $^ { a , b , c }$ 。已知 $a = 3 , \cos A = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } } , B = A + { \frac { \pi } { 2 } }$

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求 $\Delta A B C$ 的面积。

（17）【解析】：

（Ⅰ）由题意知： $\sin A = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } A } } = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$

$$ \sin B = \sin \left( A + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \sin A \cos { \frac { \pi } { 2 } } + \cos A \sin { \frac { \pi } { 2 } } = \cos A = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } } , $$

由正弦定理得： ${ \frac { a } { \sin A } } = { \frac { b } { \sin B } } \Rightarrow b = { \frac { a \cdot \sin B } { \sin A } } = 3 { \sqrt { 2 } }$

（Ⅱ）由余弦定理得：

$$ \cos A = { \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } } = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } } \Rightarrow c ^ { 2 } - 4 { \sqrt { 3 } } c + 9 = 0 \Rightarrow c _ { 1 } = { \sqrt { 3 } } , c _ { 2 } = 3 { \sqrt { 3 } } , $$

又因为 $B = A + { \frac { \pi } { 2 } }$ 为钝角，所以 $b > c$ ，即 $c = { \sqrt { 3 } }$

所以 $S _ { \_ { A B C } } = \frac { 1 } { 2 } a c \sin B = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }$