为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两…——2023 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①分布列见解析， $E ( X ) = 1$

> ②（i）m = 23.4；列联表见解析，（ii）能

【解析】

【分析】①利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；

> ②（i）根据中位数的定义即可求得m = 23.4，从而求得列联表；

（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问 1 详解】

依题意，X的可能取值为0,1,2，

$$ P (X = 0) = \frac {\mathrm{C} _ {2 0} ^ {0} \mathrm{C} _ {2 0} ^ {2}}{\mathrm{C} _ {4 0} ^ {2}} = \frac {1 9}{7 8}, \quad P (X = 1) = \frac {\mathrm{C} _ {2 0} ^ {1} \mathrm{C} _ {2 0} ^ {1}}{\mathrm{C} _ {4 0} ^ {2}} = \frac {2 0}{3 9}, \quad P (X = 2) = \frac {\mathrm{C} _ {2 0} ^ {2} \mathrm{C} _ {2 0} ^ {0}}{\mathrm{C} _ {4 0} ^ {2}} = \frac {1 9}{7 8}, $$

所以X的分布列为：

<table><tr><td>X</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>P</td><td> $\frac{19}{78}$ </td><td> $\frac{20}{39}$ </td><td> $\frac{19}{78}$ </td></tr></table>

故 $E ( X ) = 0 \times \frac { 1 9 } { 7 8 } + 1 \times \frac { 2 0 } { 3 9 } + 2 \times \frac { 1 9 } { 7 8 } = 1$

【小问 2 详解】

（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第 11 位数据为14.4 ，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2, 20.1, 20.2, 20.4, 21.5,23.2, 23.6,L，

故第 20 位为 23.2 ，第 21 位数据为 23.6 ，

所以 $m = { \frac { 2 3 . 2 + 2 3 . 6 } { 2 } } = 2 3 . 4$

故列联表为：

<table><tr><td></td><td>&lt;m</td><td>≥m</td><td>合计</td></tr><tr><td>对照组</td><td>6</td><td>14</td><td>20</td></tr><tr><td>实验组</td><td>14</td><td>6</td><td>20</td></tr><tr><td>合计</td><td>20</td><td>20</td><td>40</td></tr></table>

（ii）由（i）可得， $K = { \frac { 4 0 \times ( 6 \times 6 - 1 4 \times 1 4 ) ^ { 2 } } { 2 0 \times 2 0 \times 2 0 \times 2 0 } } = 6 . 4 0 0 > 3 . 8 4 1$

所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.