利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）…——2022 高考物理第 19 题答案解析

【答案】① $W = \frac { 1 } { 2 } m \nu _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m \nu _ { 1 } ^ { 2 }$ ；（2）见解析；（3） $\frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } = 4 \sqrt { 2 }$

【解析】

【详解】（1）根据动能定理有

$$ W = \frac {1}{2} m v _ {2} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2} $$

> ②设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为 $m$ ，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则

$$ F = m \frac {v ^ {2}}{r} $$

运动周期

$$ T = \frac {2 \pi r}{v} $$

根据开普勒第三定律 ${ \frac { r ^ { 3 } } { T ^ { 2 } } } = k$ ，k为常量，得

$$ F = \frac {4 \pi^ {2} k m}{r ^ {2}} $$

即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。

（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为 $P _ { 0 } { \mathrm { . } }$ 。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量

$$ P = \frac{P_0}{4\pi r^2} $$

设地球绕太阳公转半径为 $r _ { 1 }$ 在新轨道上公转半径为 $r _ { 2 }$ 。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得

$$ r _ {2} = 4 r _ {1} $$

设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有

$$ \frac {G M m}{r ^ {2}} = m r \frac {4 \pi^ {2}}{T ^ {2}} $$

解得

$$ T = \sqrt {\frac {4 \pi^ {2} r ^ {3}}{G M}} $$

由于恒星质量是太阳质量的2倍，得

$$ \frac {T _ {2}}{T _ {1}} = 4 \sqrt {2} $$