2016_浙江卷
13．（4分）（2016•浙江）设双曲线 $x ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm { F } _ { 1 } , \ \mathrm { F } _ { 2 }$ ，若点P在双曲线 上，且 $\triangle \mathrm { F _ { 1 } P F _ { 2 } }$ 为锐角三角形，则 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right|$ 的取值范围是 $( 2 { \sqrt { 7 } } , ~ 8 )$
$( \ 2 { \sqrt { 7 } } \ , \ 8 )$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出 $\angle \mathrm { P F } _ { 2 } \mathrm { F } _ { 1 }$ 和 $\angle \mathrm { F _ { 1 } P F _ { 2 } }$ 为直角时 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right|$ 的值，可得 $\triangle \mathrm { F _ { 1 } P F _ { 2 } }$ 为锐角三角形时 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right|$ 的取值范围
【解答】解：如图，
由双曲线 $x ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ ，得 $\mathrm { a ^ { 2 = 1 } , ~ b ^ { 2 = 3 } }$
$$ \therefore c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 2 . $$
不妨以P在双曲线右支为例，当 $\mathrm { P F _ { 2 } \bot x }$ 轴时，
把 x=2 代入 $x ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ ，得 $\mathrm { y } = \pm 3$ ，即 $| \mathrm { P F } _ { 2 } | { = } 3$
此时 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| { = } \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right| { + } { 2 { = } 5 }$ ，则 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right| { = } 8$
由 $\mathrm { P F } _ { 1 } \bot \mathrm { P F } _ { 2 } ,$ ，得 $\scriptstyle { \left| \mathtt { P F } _ { 1 } \right| ^ { 2 } } + { \left| \mathtt { P F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } } = { \left| \mathtt { F } _ { 1 } \mathtt { F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } } = 4 \mathtt { c } ^ { 2 } = 1 6$
又 $| \mathrm { P F } _ { 1 } | \ - \ | \mathrm { P F } _ { 2 } | = 2 , \ \textcircled { 1 }$
两边平方得： $\begin{array} { r } { \left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } - 2 \left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| = 4 } \end{array}$
$$ \therefore | \mathrm { P F } _ { 1 } | | \mathrm { P F } _ { 2 } | = 6 , \textcircled { 2 } $$
联立①②解得： $\mathbb { F } _ { 1 } \left| = 1 + \sqrt { \ 7 } \right.$ , |PF $_ 2 | = - 1 + \sqrt { 7 }$
此时 $\left| \operatorname { P F } _ { 1 } \right| + \left| \operatorname { P F } _ { 2 } \right| = 2 + { \sqrt { 7 } } .$
$\therefore$ 使 $\triangle \mathrm { F _ { 1 } P F _ { 2 } }$ 为锐角三角形的 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right|$ 的取值范围是 $( ~ 2 { \sqrt { 7 } } , ~ 8 )$
故答案为： $( \ 2 { \sqrt { 7 } } \ , \ 8 )$
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题