已知抛物线 y^ 2 =4 x 的焦点为 F，准线为 l…——2019 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．若与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，且 $|A B|=4|O F|$（ $O$ 为原点），则双曲线的离心率为
A．$\sqrt{2}$
B．$\sqrt{3}$
C． 2
D．$\sqrt{5}$

【答案】D
【解析】
【分析】
只需把 $|A B|=4|O F|$ 用 $a, b, c$ 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】 $l$ 的方程为 $x=-1$ ，双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，
故得 $A\left(-1, \frac{b}{a}\right), B\left(-1,-\frac{b}{a}\right)$ ，
所以 $|A B|=\frac{2 b}{a}, \frac{2 b}{a}=4, b=2 a$ ，
所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{5}$ 。
故选D。

【点睛】双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}$ ．