已知函数 f(x)=A sin (ω x+ )(A>0,…——2019 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,|\varphi|<\pi)$ 是奇函数，且 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，将 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g(x)$ 。若 $g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则 $f\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=$
A．-2
B．$-\sqrt{2}$
C．$\sqrt{2}$
D． 2

【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 $A, \omega, \varphi$ 值即可。
【详解】 $f(x)$ 为奇函数，可知 $f(0)=A \sin \varphi=0$ ，
由 $|\varphi|<\pi$ 可得 $\varphi=0$ ；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得 $g(x)=A \sin \frac{1}{2} \omega x$ ，
由 $g(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ 可得 $\omega=2$ ，
由 $g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ ，可得 $A=2$ ，
所以 $f(x)=2 \sin 2 x, f\left(\frac{3 \pi}{8}\right)=2 \sin \frac{3 \pi}{4}=\sqrt{2}$ 。
故选C。