2017_新课标 II 卷 (2017·理)
19．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A$
$B C D, A B=B C=\frac{1}{2} A D, \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}, E$ 是 $P D$ 的中点．
（1）证明：直线 $\mathrm{C} E \|$ 平面 PAB ；
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $\mathrm{M}-\mathrm{AB}-\mathrm{D}$的余弦值。
【考点】LS：直线与平面平行； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）取 $P A$ 的中点 $F$ ，连接 $E F, B F$ ，通过证明 $C E \| B F$ ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可。
（2）利用已知条件转化求解 $M$ 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 $\mathrm{M}-\mathrm{AB}-\mathrm{D}$ 的余弦值即可。
【解答】（1）证明：取 $P A$ 的中点 $F$ ，连接 $E F$ ，$B F$ ，因为 $E$ 是 $P D$ 的中点，
所以 $E F \cong \frac{1}{2} A D, A B=B C=\frac{1}{2} A D, \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}, \therefore B C \| \frac{1}{2} A D$ ，
$\therefore \mathrm{BCEF}$ 是平行四边形，可得 $\mathrm{CE} \| \mathrm{BF}, \mathrm{BF} \subset$ 平面 $\mathrm{PAB}, \mathrm{CE} \not \subset$ 平面 PAB ，
∴ 直线 $C E \|$ 平面 $P A B$ ；
（2）解：四棱锥P－ABCD中，
侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D, A B=B C=\frac{1}{2} A D$ ，
$\angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}, E$ 是 $P D$ 的中点。
取 $A D$ 的中点 $O$ ，$M$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $N$ 在 $O C$ 上，设 $A D=2$ ，则 $A B=B C=1, O P= \sqrt{3}$,
$\therefore \angle \mathrm{PCO}=60^{\circ}$ ，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 $45^{\circ}$ ，
可得：$B N=M N, C N=\frac{\sqrt{3}}{3} M N, B C=1$ ，
可得： $1+\frac{1}{3} B N^{2}=B N^{2}, B N=\frac{\sqrt{6}}{2}, M N=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，
作 $N Q \perp A B$ 于 $Q$ ，连接 $M Q, ~ A B \perp M N$ ，
所以 $\angle M Q N$ 就是二面角 $M-A B-D$ 的平面角，$M Q=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}$
$=\frac{\sqrt{10}}{2}$,
二面角 $\mathrm{M}-\mathrm{AB}-\mathrm{D}$ 的余弦值为：$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法 ，考查空间想象能力以及计算能力。