2017 新课标 II 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（ 5 分）$\frac{3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=$

2．（5分）设集合 $A=\{1,2,4\}, B=\left\{x \mid x^{2}-4 x+m=0\right\}$ ．若 $A \cap B=\{1\}$ ，则 $B=$（ ）

3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：＂远看巍巍塔七层 ，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？＂意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） 

5．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-3 \leqslant 0 \\ 2 x-3 y+3 \geqslant 0 \\ y+3 \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x+y$ 的最小值是

6．（5分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有

7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 $\mathrm{a}=-1$ ，则输出的 $\mathrm{S}=$ 

9．（5分）若双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2) { }^{2}+y^{2}=4$ 所截得的弦长为 2 ，则 $C$ 的离心率为（ ）

10．（5分）已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle A B C=120^{\circ}, A B=2, B C=C C_{1}=1$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

11．（5分）若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=\left(x^{2}+a x-1\right) e^{x-1}$ 的极值点，则 $f(x)$ 的极小值为（）

12．（5分）已知 $\triangle A B C$ 是边长为2的等边三角形，$P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$ 的最小值是

13．（ 5 分）一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次．X表示抽到的二等品件数，则 $\mathrm{DX}=$ $\_\_\_\_$ 1.96。

14．（5分）函数 $f(x)=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \cos x-\frac{3}{4}\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ 1 ．

15．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10$ ，则 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{k}}=-\frac{2 n}{\underline{n+1}}$－

16．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点，$M$ 是 $C$ 上一点，$F M$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$ ．若 $M$ 为 $F N$ 的中点，则 $|F N|=$ $\_\_\_\_$ 6。

17．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin (A+C)=8 \mathrm{si} \mathrm{n}^{2} \frac{\mathrm{~B}}{2}$ ． （1）求 $\cos \mathrm{B}$ ； （2）若 $\mathrm{a}+\mathrm{c}=6, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 2 ，求 b ．

18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：  旧养殖法  新养殖法 ①设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件＂旧养殖法的箱产量低于 50 kg ，新养殖法的箱产量不低于 50 kg ＂，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 $99 \%$ 的把握认为箱产量与养殖方法有关： | | 箱产量 {{QUESTIONS_HTML}}lt;50 \mathrm{~kg}$ | 箱产量 $\geq 50 \mathrm{~kg}$ | | :--- | :--- | :--- | | 旧养殖法 | | | | 新养殖法 | | | （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到0．01）。 附： | $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :---: | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 | $\mathrm{K}^{2}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})^{2}}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{c}+\mathrm{d})(\mathrm{a}+\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{d})}$.

19．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A$ $B C D, A B=B C=\frac{1}{2} A D, \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}, E$ 是 $P D$ 的中点． （1）证明：直线 $\mathrm{C} E \|$ 平面 PAB ； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $\mathrm{M}-\mathrm{AB}-\mathrm{D}$的余弦值。 

20．（12分）设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 ，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{N P}=\sqrt{2} \overrightarrow{N M}$ ． （1）求点 p 的轨迹方程； ②设点 Q 在直线 $\mathrm{x}=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=1$ ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=a x^{2}-a x-x \ln x$ ，且 $f(x) \geq 0$ ． （1）求 $a$ ； （2）证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $e^{-2}<f\left(x_{0}\right)<2^{-2}$ ．

22．（10分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \theta=4$ ． ① M 为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 $|\mathrm{OM}| \bullet|\mathrm{OP}|=16$ ，求点 P的轨迹 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程； ②设点 A 的极坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ ，点 B 在曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上，求 $\triangle \mathrm{OAB}$ 面积的最大值．

23．已知 $a>0, b>0, a^{3}+b^{3}=2$ ．证明： ①$(a+b)\left(a^{5}+b^{5}\right) \geq 4$ ； ②$a+b \leq 2$ ．