设函数 f ( x ) = ( x - 1 ) ^ 2 (…——2024 高考数学第 10 题答案解析

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出函数f(x)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数f(x)

在(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数f(x)的定义域为R，而 $f ^ { \prime } \big ( x \big ) = 2 \big ( x - 1 \big ) \big ( x - 4 \big ) + \big ( x - 1 \big ) ^ { 2 } = 3 \big ( x - 1 \big ) \big ( x - 3 \big )$ 易知当 $x \in \left( 1 , 3 \right)$ 时， $f ^ { \prime } { \bigl ( } x { \bigr ) } < 0$ ，当 $x \in \left( - \infty , 1 \right)$ 或 $x \in \left( 3 , + \infty \right)$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ 函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 $\left( 3 , + \infty \right)$ 上单调递增，故 x= 3是函数 f(x)的极小值点，正确；对 B，当0 1< <x 时， $x - x ^ { 2 } = x \big ( 1 - x \big ) > 0$ ，所以 $1 > x > x ^ { 2 } > 0$ 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以 $f ( x ) > f \left( x ^ { 2 } \right)$ ，错误；对C，当 $1 < x < 2$ 时， $1 < 2 x - 1 < 3$ ，而由上可知，函数 f(x)在(1,3)上单调递减，所以 $f \left( 1 \right) > f \left( 2 x - 1 \right) > f \left( 3 \right)$ ，即 $- 4 < f { \bigl ( } 2 x - 1 { \bigr ) } < 0$ ，正确；对 D，当 -1< x < 0 时， $f ( 2 - x ) - f ( x ) = \left( 1 - x \right) ^ { 2 } \left( - 2 - x \right) - \left( x - 1 \right) ^ { 2 } \left( x - 4 \right) = \left( x - 1 \right) ^ { 2 } \left( 2 - 2 x \right) > 0$ 所以 $f ( 2 - x ) > f ( x )$ ，正确；故选：ACD.