## 22. （本小题满分14分） 证明以下命题： ① 对…——2010 高考数学第 22 题答案解析

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

（1）考虑到结构要证 $a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }$ ，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值 $1 ^ { 2 } , 5 ^ { 2 } , 7 ^ { 2 }$ 满足等差数列，只需取 $b { = } 5 \mathrm { a } , ~ \mathrm { c } { = } 7 \mathrm { a }$ ，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当 $a _ { n } ^ { 2 } , b _ { n } ^ { 2 } , c _ { n } ^ { 2 }$ 成等差数列，则 $b _ { n } ^ { 2 } - a _ { n } ^ { 2 } = c _ { n } ^ { 2 } - b _ { n } ^ { 2 }$

分解得： $( b _ { n } + a _ { n } ) ( b _ { n } - a _ { n } ) = ( c _ { n } + b _ { n } ) ( c _ { n } - b _ { n } )$

选取关于n的一个多项式， $4 n ( n ^ { 2 } - 1 )$ 做两种途径的分解

$$ 4 n ( n ^ { 2 } - 1 ) = ( 2 n - 2 ) ( 2 n ^ { 2 } + 2 n ) = ( 2 n ^ { 2 } - 2 n ) ( 2 n + 2 ) \ 4 n ( n ^ { 2 } - 1 ) $$

对比目标式，构造 $\left\{ \begin{array} { c } { { a _ { n } = n ^ { 2 } - 2 n - 1 } } \\ { { b _ { n } = n ^ { 2 } + 1 \quad ( n \geq 4 ) } } \\ { { c _ { n } = n ^ { 2 } + 2 n - 1 } } \end{array} \right.$ ，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任 取 正 整 数 m ， n ， 若 $\triangle _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ , ~ } } \triangle$ 相 似 ： 则 三 边 对 应 成 比 例$\frac { m ^ { 2 } - 2 m - 1 } { n ^ { 2 } - 2 n - 1 } = \frac { m ^ { 2 } + 1 } { n ^ { 2 } + 1 } = \frac { m ^ { 2 } + 2 m - 1 } { n ^ { 2 } + 2 n - 1 } ,$

由比例的性质得： ${ \frac { m - 1 } { n - 1 } } = { \frac { m + 1 } { n + 1 } } \Rightarrow m = n$ ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。