若非零向量 a , b 满足 |a|=|b|,(2 a+b…——2010 高考数学第 6 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）若非零向量 $\vec{a}, \overrightarrow{b^{\circ}}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|,(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=0$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$的夹角为（ ）
A． $30^{\circ}$
B． 60
C． $120^{\circ}$
D． $150^{\circ}$

【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】由 $(2 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=0$ ，化简得到 $|\vec{b}|^{2}=-2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，结合条件 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，将化简式变为 $|\vec{a}| \bullet \mid$
$\overrightarrow{\mathrm{b}} \mid=-2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，再结合 $\cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}$ ，易求出 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角 $\theta$ ．
【解答】解：$\because(2 \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=0$
$\therefore(2 \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{b}^{2}}+2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=0$

即 $|\vec{b}|^{2}=-2 \vec{a} \cdot \vec{b}$

又 $\because|\vec{a}|=|\vec{b}|$
$\therefore|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \bullet|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=-2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{b}}$
又由 $\cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}$
易得： $\cos \theta=-\frac{1}{2}$
则 $\theta=120^{\circ}$
故选：C

【点评】若 $\theta$ 为 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角，则 $\cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}$ ，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握。