如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【答案】1．2

【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：

原始的最大流量是 $\frac{1}{2} \times(10+10-2 \times 2) \times 2=16$ ，设抛物线的方程为 $x^{2}=2 p y(p>0)$ ，因为该抛物线过点 $(5,2)$ ，所以 $2 p \times 2=5^{2}$ ，解得 $p=\frac{25}{4}$ ，所以 $x^{2}=\frac{25}{2} y$ ，即 $y=\frac{2}{25} x^{2}$ ，所以当前最大流量是 $\int_{-5}^{5}\left(2-\frac{2}{25} x^{2}\right) d x=\left.\left(2 x-\frac{2}{75} x^{3}\right)\right|_{-5} ^{5}=\left(2 \times 5-\frac{2}{75} \times 5^{3}\right)-\left[2 \times(-5)-\frac{2}{75} \times(-5)^{3}\right]=\frac{40}{3}$ ，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 $\frac{16}{\frac{40}{3}}=1.2$ ，所以答案应填： 1.2 ．
【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题。解题时一定要抓住重要字眼＂原始＂和＂当前＂，否则很容易出现错误。解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线 $x=a, x=b, y=0$ 和曲线 $y=f(x)$ 所围成的曲边梯形的面积是 $\int_{a}^{b} f(x) d x$ 。