（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算

【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离

【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；

（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，

$\therefore \mathsf { P D \bot }$ 平面ABC，则 $P D \bot A B$

又E为D在平面PAB内的正投影，

∴DE⊥面PAB，则 $D E \bot A B$

$\because P D \cap D E = D$

$\therefore A B \bot$ 平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，

则 $A B \bot P G$

又 $\mathsf { P A } { = } \mathsf { P B }$

∴G是AB的中点；

（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影

∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，

∴PB⊥PA，PB⊥PC，

又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，

即点F为E在平面PAC内的正投影

连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心

由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 $\mathsf { C D } { = } \frac { 2 } { 3 } \mathsf { C G }$

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此 $P E = \frac { 2 } { 3 } P G , D E = \frac { 1 } { 3 } P C$

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2， $\scriptstyle { \mathsf { P G } } = 3 { \sqrt { 2 } }$ $P E = 2 \sqrt { 2 }$

在等腰直角三角形EFP中，可得 $E F = P F = 2$

所以四面体PDEF的体积 $V = \frac { 1 } { 3 } \times D E \times S _ { \Delta \mathsf { P E F } } = \frac { 1 } { 3 } \times 2 \times \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 = \frac { 4 } { 3 }$ 【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系