（本小题满分12分） 已知函数 f(x)=sin 2 x-…——2010 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（12分）（ $2010 \bullet$ 湖南）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin 2 \mathrm{x}-2 \sin ^{2} \mathrm{x}$
（I）求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期。
（II）求函数 $f(x)$ 的最大值及 $f(x)$ 取最大值时 $x$ 的集合。
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】①先将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)-1$ ，根据 $T=\frac{2 \pi}{2}$ 可得答案 ．
②令 $2 x+\frac{\pi}{4}=2 k \pi+\frac{\pi}{2}$ ，可直接得到答案。
【解答】解：①因为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin 2 \mathrm{x}-(1-\cos 2 \mathrm{x})=\sqrt{2} \sin \left(2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right)-1$
所以函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期为 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{2}=\pi$
②由①知，当 $2 x+\frac{\pi}{4}=2 k \pi+\frac{\pi}{2}$ ，即 $x=k \pi+\frac{\pi}{8}(k \in Z)$ 时，$f(x)$ 取最大值 $\sqrt{2}-1$
因此函数 $f(x)$ 取最大值时 $x$ 的集合为：$\left\{x \left\lvert\, x=k \pi+\frac{\pi}{8}\right., k \in Z\right\}$
【点评】本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法．属基础题．