已知 A C B=90^ , P 为平面 A B C 外一…——2019 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\sqrt{2}$ ．

## 【解析】

## 【分析】

本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 $P$ 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．

【详解】作 $P D, P E$ 分别垂直于 $A C, B C, P O \perp$ 平面 $A B C$ ，连 CO ，

知 $C D \perp P D, C D \perp P O, P D \cap O D=P$ ，
$\backslash C D^{\wedge}$ 平面 $P D O, ~ O D \subset$ 平面 $P D O$ ，
$\therefore C D \perp O D$
$\because P D=P E=\sqrt{3}, P C=2 . \therefore \sin \angle P C E=\sin \angle P C D=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$\therefore \angle P C B=\angle P C A=60^{\circ}$ ，
$\therefore P O \perp C O, \mathrm{CO}$ 为 $\angle A C B$ 平分线，
$\therefore \angle O C D=45^{\circ} \therefore O D=C D=1, O C=\sqrt{2}$ ，又 $P C=2$ ，
$\therefore P O=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$ ．

【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察 ，解题事半功倍。