2019 新课标 I 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$ ，则 $|z|=$

2．已知集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}, A=\{2,3,4,5\}, B=\{2,3,6,7\}$ ，则 $B \cap \mathrm{C}_{U} A$

3．已知 $a=\log _{2} 0.2, b=2^{0.2}, c=0.2^{0.3}$ ，则

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的＂断臂维纳斯＂便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是 

5．函数 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^{2}}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致为

6．某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 $1,2, \cdots, 1$ 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到 ，则下面4名学生中被抽到的是

7． $\tan 255^{\circ}=$

8．已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

9．如图是求 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入 

10．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $130^{\circ}$ ，则 C 的离心率为

11．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin A-b \sin B=4 c \sin C, \cos A=-\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}=$

12．已知椭圆 C 的焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right|,|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，则 $C$ 的方程为

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=1, S_{3}=\frac{3}{4}$ ，则 $S_{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{2}\right)-3 \cos x$ 的最小值为

16．已知 $\angle A C B=90^{\circ}, P$ 为平面 $A B C$ 外一点，$P C=2$ ，点 $P$ 到 $\angle A C B$ 两边 $A C, B C$ 的距离均为 $\sqrt{3}$ ，那么 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

17．某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： | | 满意 | 不满意 | | :--- | :--- | :--- | | 男顾客 | 40 | 10 | | 女顾客 | 30 | 20 | （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 $95 \%$ 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ． | $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{9}=-a_{5}$ ． （1）若 $a_{3}=4$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）若 $a_{1}>0$ ，求使得 $S_{n} \geq a_{n}$ 的 $n$ 的取值范围．

19．如图，直四棱柱 $A B C D-$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，$A A_{1}=4, A B=2, \angle B A D=60^{\circ}, E, M, N$ 分别是 $B C, B B_{1}, A_{1} D$ 的中点。  （1）证明：$M N / /$ 平面 $C_{l} D E$ ； （2）求点 $C$ 到平面 $C_{l} D E$ 的距离．

20．已知函数 $f(x)=2 \sin x-x \cos x-x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数． （1）证明：$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 存在唯一零点； （2）若 $x \in[0, \pi]$ 时，$f(x) \geq a x$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．已知点 $A, B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$|A B|=A, \odot M$ 过点 $A, B$ 且与直线 $x+2=0$ 相切． （1）若 $A$ 在直线 $x+y=0$ 上，求 $\odot M$ 的半径． （2）是否存在定点 $P$ ，使得当 $A$ 运动时，$|M A|-|M P|$ 为定值？并说明理由。

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］ 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0$. （1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程； （2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．

23．［选修4－5：不等式选讲］ 已知 $a, b, c$ 为正数，且满足 $a b c=1$ ．证明： ①$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ； ②$(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24$ ．