13．在等腰梯形 ABCD 中，已知 $A B \| D C, A B=2, B c=1, \angle A B C=60^{\circ}$ ，点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上，且 $\overrightarrow{B E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=\frac{1}{6} \overrightarrow{D C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的值为 $\_\_\_\_$。
参考答案$\frac{29}{18}$ 解析过程： 在等腰梯形 $A B C D$ 中，由 $A B \| D C, A B=2, B C=1, \angle A B C=60^{\circ}$ ， 得 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=\frac{1}{2}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=1, \overrightarrow{D C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ， 所以 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D F})$ $=\left(\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}\right) \cdot\left(\overrightarrow{A D}+\frac{1}{12} \overrightarrow{A B}\right)$ $=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A D}+\frac{1}{12} \overrightarrow{A B}^{2}+\frac{1}{18} \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A B}$ $=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{18}=\frac{29}{18}$