2015 天津卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

2．设变量 $x, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\underset{\ddot{I}}{\ddot{t}} x-2 £-2 y £ 0$ ，$x-2 y-8 £ 0$ ，则目标函数的最大值为 $z=3 x+\mathrm{y}$

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为 

4．设 $x \hat{\mathrm{i}} \mathrm{R}$ ，则＂ $1<x<2$＂是＂$|x-2|<1$＂的

5．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的一个焦点为 $\mathrm{F}(2,0)$ ，且双曲线的渐近线与圆 $(x-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=3$ 相切，则双曲线的方程为

7．已知定义在 R 上的函数 $f(x)=2^{|x-m|}-1$（ m 为实数）为偶函数， 记 $a=f\left(\log _{0.5} 3\right), \mathrm{b}=f\left(\log _{2} 5\right), \mathrm{c}=f(2 m)$ ，则 $a, \mathrm{~b}, \mathrm{c}$ ，的大小关系为（ ）

8．已知函数 $f(x)=\stackrel{\dagger}{\dagger} 2-|x|, x £ 2$ ，函数 $g(x)=3-f(2-x)$ ，则函数 $\mathrm{y}=f(x)-g(x)$ 的零点的个数为 （ ）

9． i 是虚数单位，计算 $\frac{1-2 i}{2+i}$ 的结果为 $\_\_\_\_$。

10．一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ ．  正视图  侧视图  俯视图

11．已知函数 $f(x)=a x \ln x, x \in(0,+\infty)$ ，其中 a 为实数，$f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，若 $f^{\prime}(1)=3$ ，则 a 的值为 $\_\_\_\_$。

12．已知 $a>0, b>0, a b=8$ ，则当 a 的值为 $\_\_\_\_$时 $\log _{2} a \cdot \log _{2}(2 b)$ 取得最大值。

13．在等腰梯形 ABCD 中，已知 $A B \| D C, A B=2, B c=1, \angle A B C=60^{\circ}$ ，点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上，且 $\overrightarrow{B E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=\frac{1}{6} \overrightarrow{D C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的值为 $\_\_\_\_$。

14．已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0), x \in \mathbf{R}$ ，若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\omega, \omega)$ 内单调递增，且函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\omega$ 对称，则 $\omega$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 $27,9,18$ ，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛。 （I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ ，从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛。 （i）用所给编号列出所有可能的结果； （ii）设 A 为事件＂编号为 $A_{5}, A_{6}$ 的两名运动员至少有一人被抽到＂，求事件 A 发生的概率。

16．$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ ， $b-c=2, \cos A=-\frac{1}{4}$, （I）求 a 和 $\operatorname{sinC}$ 的值； （II）求 $\cos \left(2 A+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

17．如图，已知 $A A_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, B B_{1} \| A A_{1}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3, B C=2 \sqrt{5}, A A_{1}=\sqrt{7}, B B_{1}=2 \sqrt{7}$ ，点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$分别是 $\mathrm{BC}, A_{1} C$ 的中点， （ I ）求证： $\mathrm{EF} \|$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ ；（II）求证：平面 $A E A_{1} \perp$ 平面 $B C B_{1}$ 。 （III）求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小。 

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ． （I）求直线 BF 的斜率； （II）设直线 BF 与椭圆交于点 $\mathrm{P}(\mathrm{P}$ 异于点 B$)$ ，故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 $\mathrm{Q}(\mathrm{Q}$ 异于点 B）直线 PQ 与 x 轴交于点 $\mathrm{M},|\mathrm{PM}|=/|\mathrm{MQ}|$ 。 （i）求 $/$ 的值； （ii）若 $|\mathrm{PM}| \sin Đ \mathrm{BQP}=\frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ，求椭圆的方程．

20．已知函数 $f(x)=4 x-x^{4}, x \hat{\mathrm{I}} R$ ，其中 $\mathrm{n} \hat{\mathrm{I}} N^{*}$ ，且 $\mathrm{n}^{3} 2$ ． （I）求 $f(x)$ 的单调区间； （II）设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 $y=g(x)$ ，求证：对于任意的实数 $x$ ，都有 $f(x) £ g(x)$ ； （III）若方程 $f(x)=a$（ $a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}<x_{2}$ ，求证：$x_{2}-x_{1}<-\frac{a}{3}+4^{\frac{1}{3}}$ ． ## 2015年高考天津市文科数学真题