2015_上海卷
18、设 $\textstyle \mathrm { P } _ { n } \left( x _ { n } , y _ { n } \right)$ 是直线 $2 x - y = \frac { n } { n + 1 } ( n \in \mathbf { N } ^ { * } \mathbf { \Lambda } )$ 与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ 在第一象限的交点，则极限 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { y _ { n } - 1 } { x _ { n } - 1 } } =$ A． -1 B $- { \frac { 1 } { 2 } }$ C．1
D． 2
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】A
【解析】由题意得：因为 $2 x - y = 1$ 与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ 在第一象限的交点为 $( 1 , 1 )$，所以$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } { = } 1 , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \nu _ { n } { = } 1 ,$ $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { y _ { n } - 1 } { x _ { n } - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { y _ { n } ^ { \prime } } { x _ { n } ^ { \prime } } }$，又由 ${ x _ { n } } ^ { 2 } + { y _ { n } } ^ { 2 } = 2$ 得
$2 x _ { n } x _ { n } ^ { \prime } + 2 y _ { n } y _ { n } ^ { \prime } = 0 \Rightarrow { \frac { y _ { n } ^ { \prime } } { x _ { n } ^ { \prime } } } = - { \frac { x _ { n } } { y _ { n } } } \cdot \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { y _ { n } - 1 } { x _ { n } - 1 } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { y _ { n } ^ { \prime } } { x _ { n } ^ { \prime } } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( - { \frac { x _ { n } } { y _ { n } } } ) = - { \frac { \operatorname* { l i m } _ { n } x _ { n } } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { y _ { n } } } } = - 1$ 选A【考点定位】极限