（12分）如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABC…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【考点】 LW ：直线与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题；31：数形结合；35：转化思想。

【分析】（I）因为 $\angle \mathrm{DAB}=60^{\circ}, A B=2 A D$ ，由余弦定理得 $B D=\sqrt{3} \mathrm{AD}$ ，利用勾股定理证明 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AD}$ ，根据 $\mathrm{PD} \perp$ 底面 ABCD ，易证 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{PD}$ ，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$ ；
（II）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ，和平面 PAB 的法向量，平面 PBC 的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可。

【解答】（I）证明：因为 $\angle \mathrm{DAB}=60^{\circ}, A B=2 A D$ ，由余弦定理得 $B D=\sqrt{3} \mathrm{AD}$ ，从而 $B D^{2}+A D^{2}=A B^{2}$ ，故 $B D \perp A D$

又 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，可得 $B D \perp P D$
所以 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 PAD ．故 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$
（II）如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，
射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 $\mathrm{D}-\mathrm{xyz}$ ，则
$\mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0, \sqrt{3}, 0), \mathrm{C}(-1, \sqrt{3}, 0), \mathrm{P}(0,0,1)$ ．
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1, \sqrt{3}, 0), \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(0, \sqrt{3},-1), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-1,0,0)$ ，
设平面 $P A B$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P B}=0\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3} y=0 \\ \sqrt{3} y-z=0\end{array}\right.$ ，
因此可取 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$
设平面 PBC 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{cB}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~PB}}=0\end{array}\right.$ ，
即：$\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ \sqrt{3} y^{-} z=0\end{array}\right.$
可取 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=(0,1, \sqrt{3}), \cos <\overrightarrow{\mathrm{m}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}}{|\overrightarrow{\mathrm{m}}||\overrightarrow{\mathrm{n}}|}=\frac{4}{2 \sqrt{7}}$
故二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{PB}-\mathrm{C}$ 的余弦值为：$\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ．

【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．