【解答】
（4分）（2008•山东）设函数 $\textbf { f } \left( \textbf { x } \right) = \mathbf { a } \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { c } \mathbf { \Sigma } \left( \mathbf { a } \neq 0 \right)$ ），若 $\begin{array} { r } { \int \mathbf { \Gamma } _ { \hat { \mathbf { \Pi } } } ^ { 1 } \mathbf { f } ^ { \mathbf { \Pi } } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Pi } \mathrm { d } \mathbf { x } { = } \mathbf { f } ^ { \mathbf { \Pi } } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) , 0 { \leq } \mathbf { x } _ { 0 } { \leq } 1 } \end{array}$ 则 $\mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 }$ 的值为 $- \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } -$
【分析】求出定积分 $\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { f } \ \left( \mathbf { x } \right) \ \mathrm { d } \mathbf { x } } \end{array}$ ，根据方程 $\mathrm { a x _ { 0 } ^ { 2 } + c { = } J _ { 0 } ^ { 1 } f \Sigma ( x ) \ d x }$ 即可求解
【解答】解： $\because f \mathrm { ~ ~ ( ~ x ~ ) ~ } = { \bf a x } ^ { 2 } + { \bf c } \mathrm { ~ ~ ( ~ } { \bf a } \ne 0 \mathrm { ) ~ }$ ）， ${ \bf \ddot { \ a f } \ ( x _ { 0 } ) \ = } { \int _ { 0 } } ^ { 1 } { \bf f \ ( \bf x ) \ \ d x } { = } [ \frac { { \bar { \bf a x } } ^ { 3 } } { 3 } + { \bf c x } ] _ { 0 } 1 { = } \frac { { \bar { \bf a } } } { 3 } + { \bf c }$ ．又 $\because \mathbf { f } \ \left( \mathbf { x } _ { 0 } \right)$
$\scriptstyle = \mathbf { a x } _ { 0 } ^ { 2 } + \mathbf { c }$
$\therefore \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } , \mathbf { \ x } _ { 0 } \in [ 0 , 1 ] \div \mathbf { \ x } _ { 0 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } .$