【解答】
（14分） $( 2 0 1 3 \bullet ) ^ { 2 }$ 东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F $( 0 , \mathrm { ~ \small ~ c ~ } ) \mathrm { ~ \small ~ \left( ~ c > 0 ~ \right) ~ }$ 到直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0$ 的距离为${ \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 } } ,$ ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点
（1）求抛物线C的方程；
> ②当点P $( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , \mathbf { \boldsymbol { y } } _ { 0 } )$ 为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
> ③当点P在直线l上移动时，求 $| \mathrm { A F } | \bullet | \mathrm { B F } |$ 的最小值
考点： 抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质
专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程
分析： （1）利用焦点到直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0$ 的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；
（2）先设 $\mathbb { A } ~ ( \mathbf { \Delta x } _ { 1 } , ~ \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } ) ~ , ~ \mathbb { B } ~ ( \mathbf { \Delta x } _ { 2 } , ~ \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } )$ ，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；
（3）根据抛物线的定义，有 $\big | \operatorname { A F } \big | = \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } + 1$ ， $\lvert = \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } + 1$ ，从而表示出 $\lvert \mathrm { A F } \lvert \bullet \lvert \mathrm { B F } \rvert$ ，再由②得x$1 ^ { + } \mathrm { x } _ { 2 } { = } 2 \mathrm { x } _ { 0 } , ~ \mathrm { x } _ { 1 } \mathrm { x } _ { 2 } { = } 4 \mathrm { y } _ { 0 } , ~ \mathrm { x } _ { 0 } { = } \mathrm { y } _ { 0 } { + } 2$ ，将它表示成关于 $\mathbf { y } _ { 0 }$ 的二次函数的形式，从而即可求出 $| \mathrm { A F } | \bullet | \mathrm { B F } |$ 的最小值
解答： 解：（1）焦点F $( 0 , \mathrm { ~ \small ~ c ~ } ) \mathrm { ~ \small ~ \left( ~ c > 0 ~ \right) ~ }$ 到直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0$ 的距离 $d = \frac { \vert - c - 2 \vert } { \sqrt { 2 } } = \frac { c + 2 } { \sqrt { 2 } } = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，解得 $\scriptstyle \mathtt { c } = 1$ 所以抛物线C的方程为 $\scriptstyle \mathbf { X } ^ { 2 } = 4 \mathbf { y }$
> ②设 $\mathbb { A } \ ( \mathbf { \Pi } _ { \mathbf { x } _ { 1 } } , \ \frac { 1 } { 4 } \mathbf { \pi } _ { \mathbf { x } _ { 1 } } ^ { 2 } )$ ， $( \mathbf { \rho _ { x } } _ { 2 } , \ \frac { 1 } { 4 } \mathbf { \vec { x } } _ { 2 } ^ { 2 } )$
由（1）得抛物线C的方程为 $\mathbf { y } { = } \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } ^ { 2 } , \mathbf { y } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ,$ 所以切线PA，PB的斜率分别为 $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } , ~ \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 2 }$
$$
\mathbf { y } - { \frac { 1 } { 4 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { = } { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } ( \mathbf { \Delta x } - \mathbf { \Delta x } _ { 1 } ) \textcircled { 1 } \mathrm { P B } \mathbf { : } \mathbf { y } - { \frac { 1 } { 4 } } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } \mathbf { = } { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { x } _ { 2 } ( \mathbf { \Delta x } - \mathbf { \Delta x } _ { 2 } )
$$
联立①②可得点P的坐标为 $( \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 } , \ \frac { \mathbf { x } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 2 } } { 4 } )$ ，即 $\mathbf { x } _ { 0 } = \frac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 2 } , \mathbf { y } _ { 0 } = \frac { \mathbf { x } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 2 } } { 4 }$
又因为切线PA的斜率为 $\frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } = \frac { \mathbf { y } _ { 0 } - \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } { \mathbf { x } _ { 0 } - \mathbf { x } _ { 1 } }$ ，整理得 ${ \bf y } _ { 0 } { = } \frac { 1 } { 2 } { \bf x } _ { 1 } { \bf x } _ { 0 } - \frac { 1 } { 4 } { \bf x } _ { 1 } ^ { 2 }$
直线AB的斜率 $k = { \frac { { \cfrac { 1 } { 4 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } - { \cfrac { 1 } { 4 } } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } } { \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } } } = { \cfrac { \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } } { 4 } } = { \cfrac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } }$
所以直线AB的方程为 ${ \bf y } - \frac { 1 } { 4 } { \bf x } _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { = } \frac { 1 } { 2 } { \bf x } _ { 0 } \mathrm { ~ ( ~ } { \bf x } - { \bf \rho } _ { { \bf x } _ { 1 } } )$
整理得 $\mathbf { y } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } \mathbf { x } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 }$ ，即 $\mathbf { y } { = } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } \mathbf { x } - \mathbf { y } _ { 0 }$
因为点 $\mathrm { ~ \bf ~ P ~ } ( \mathrm { { \bf ~ x } } _ { 0 } , \mathrm { { \bf ~ y } } _ { 0 } )$ 为直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0 .$ 上的点，所以 $\mathbf { x } _ { 0 } - \mathbf { y } _ { 0 } - 2 { = } 0$ ，即 ${ \bf y } _ { 0 } \mathrm { = } { \bf x } _ { 0 } - 2$
$$
\mathbf { y } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } + 2
$$
（3）根据抛物线的定义，有 $\mid \operatorname { A F } \mid = { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname { x } _ { 1 } ^ { 2 } + 1 , \quad \mid \operatorname { B F } \mid = { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname { x } _ { 2 } ^ { 2 } + 1$
所以 $\left| \hat { \mathbb { A } } \mathbb { F } \right| \bullet \left| \mathbb { B } \mathbb { F } \right| = ( \frac { 1 } { \underline { { \sf { d } } } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } + 1 ) \quad ( \frac { 1 } { \underline { { \sf { d } } } } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } + 1 ) \ = \frac { 1 } { 1 6 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \underline { { \sf { d } } } } \ ( \mathbf { \sigma } _ { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } + \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } ) \ + \mathbf { 1 } = ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \mathbf { x } _ { 2 } ^ { 2 } ) \ .$
$\frac { 1 } { 1 6 } { \bf x } _ { 1 } ^ { 2 } { \bf x } _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } [ { \bf \rho } ( { \bf x } _ { 1 } + { \bf x } _ { 2 } ) { \bf \rho } ^ { 2 } - 2 { \bf x } _ { 1 } { \bf x } _ { 2 } ] + 1$
由②得 $\scriptstyle \mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } = 2 \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 1 } \mathbf { x } _ { 2 } = 4 \mathbf { y } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } = \mathbf { y } _ { 0 } + 2$
所以 $\left| \mathbb { A } \mathbb { F } \right| \star \left| \mathbb { B } \mathbb { F } \right| = \mathbf { y } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ( 4 \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } - 8 \mathbf { y } _ { 0 } ) \ + \mathtt { l } = \mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } + \mathbf { y } _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \mathbf { y } _ { 0 } + 1 = ( \mathbf { \Delta } _ { \mathbf { y } _ { 0 } + 2 } ) \mathbf { \Delta } ^ { 2 } + \mathbf { y } _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \mathbf { y } _ { 0 } + 1 ^ { - }$
$2 y _ { 0 } ^ { 2 } + 2 y _ { 0 } + 5 = 2 ( y _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ) 2 + \frac { 9 } { 2 }$
所以当 $\mathbf { y } _ { 0 } ^ { } = - \frac { 1 } { 2 }$ 时， $| \mathrm { A F } | \bullet | \mathrm { B F } |$ |的最小值为 $\frac { 9 } { 2 }$
本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性