（5分）已知方程 x ^ 2 m ^ 2 + n - y…——2016 高考数学第 5 题答案解析

【考点】KB：双曲线的标准方程

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由已知可得c=2，利用 $4 = ( m ^ { 2 } + n ) + ( 3 m ^ { 2 } - n )$ ，解得 $\mathsf { m } ^ { 2 } { = } 1$ ，又 $( m ^ { 2 } + n$ ） $( 3 \mathsf { m } ^ { 2 } \cdot \mathsf { n } ) \mathsf { \Omega } > 0$ ，从而可求n的取值范围

【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4， $\therefore c = 2$

当焦点在x轴上时，

可得： $4 = ( m ^ { 2 } + n ) + ( 3 m ^ { 2 } - n )$ ，解得： $\mathsf { m } ^ { 2 } { = } 1$

∵方程 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathrm { m } ^ { 2 } + \mathrm { n } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 \mathrm { m } ^ { 2 } - \mathrm { n } } = 1$ 表示双曲线，

$\therefore ( m ^ { 2 } + n ) ( 3 m ^ { 2 } - n ) > 0$ ，可得： $( n + 1 ) ( 3 - n ) > 0$

解得： $\mathtt { - 1 } { < } { \mathsf { n } } { < } 3$ ，即n的取值范围是：（﹣1，3）

当焦点在y轴上时，

可得： $- ~ 4 = ~ ( m ^ { 2 } + n ) ~ + ~ ( 3 m ^ { 2 } - n )$ ，解得： $\mathsf { m } ^ { 2 } = - \mathrm { \Delta } 1$

无解

故选：A

【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题