（12分）在平面四边形 A B C D 中， A D C=…——2018 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．
【分析】①由正弦定理得 $\frac{2}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{5}{\sin 45^{\circ}}$ ，求出 $\sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，由此能求出 $\cos \angle \mathrm{ADB}$ ；
②由 $\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$ ，得 $\cos \angle \mathrm{BDC}=\sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，再由 $\mathrm{DC}=2 \sqrt{2}$ ，利用余弦定理能求出BC．

【解答】解：（1）$\because \angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, B D=5$ ．
∴ 由正弦定理得：$\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{A}}$ ，即 $\frac{2}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{5}{\sin 45^{\circ}}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{2 \sin 45^{\circ}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，
$\because \mathrm{AB}<\mathrm{BD}, \quad \therefore \angle \mathrm{ADB}<\angle \mathrm{A}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{ADB}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{23}}{5}$ ．
②$\because \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}, \quad \therefore \cos \angle \mathrm{BDC}=\sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，
$\because \mathrm{DC}=2 \sqrt{2}$,
$\therefore \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}-2 \times \mathrm{BD} \times \mathrm{DC} \times \cos \angle \mathrm{BDC}}$
$=\sqrt{25+8-2 \times 5 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{5}}=5$ ．

【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．