2018 新课标 I 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

2．（5分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2>0\right\}$ ，则 $C_{R} A=$

3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

4．（5分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$ ，则 $a_{5}=$（）

5．（5分）设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$ ．若 $f(x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x$ ）在点（ 0,0 ）处的切线方程为（ ）

6．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}=$（）

7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）

8．（5分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$

交于 $M, N$ 两点，则 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=$

9．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{x}, x \leqslant 0 \\ \ln x, x>0\end{array}, g(x)=f(x)+x+a\right.$ ．若 $g(x)$ 存在2个零点，则 a 的取值范围是

10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ ，直角边 $A B, A C$ －$\triangle A B C$ 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III的概率分别记为 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$ ，则（ ）

11．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点，$F$ 为C的右焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$ ．若 $\triangle O M N$ 为直角三角形，则 $|M N|=$

12．（5分）已知正方体的棱长为 1 ，每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等，则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为（）

13．（5分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y-2 \leqslant 0 \\ x-y+1 \geqslant 0 \\ y \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3 x+2 y$ 的最大值为 6 ．

14．（5分）记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{n}=2 a_{n}+1$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$ －63 ．

15．（5分）从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选 ，则不同的选法共有 $\_\_\_\_$ 16种．（用数字填写答案）

16．（5分）已知函数 $f(x)=2 \sin x+\sin 2 x$ ，则 $f(x)$ 的最小值是— $-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

17．（12分）在平面四边形 $A B C D$ 中，$\angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, B D=5$ ．
（1）求 $\cos \angle A D B$ ；

（2）若 $\mathrm{DC}=2 \sqrt{2}$ ，求 BC ．

18．（12分）如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，$E$ ，$F$ 分别为 $A D$ ，$B C$ 的中点，以 $D F$ 为

折痕把 $\triangle D F C$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P F \perp B F$ ．
（1）证明：平面 $P E F \perp$ 平面 $A B F D$ ；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 $\mathrm{p}(0<\mathrm{p}<1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f$ （p）的最大值点 $\mathrm{p}_{0}$ 。
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 $\mathrm{p}_{0}$ 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 $E X$ ；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

22．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$ ．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0$
（1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
（2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程。

23．已知 $f(x)=|x+1|-|a x-1|$ ．
①当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)>1$ 的解集；
（2）若 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立，求 $a$ 的取值范围．