已知函数 f(x)=sin (x+ 7 π 4 )+cos…——2011 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
解：
（1）∵

$$ f(x)=\sin \left(x+\frac{7 \pi}{4}-2 \pi\right)+\sin \left(x-\frac{3 \pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2 \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

$\therefore T=2 \pi, f(x)$ 的最小值为 -2 ．
②由已知得 $\cos \beta \cos \alpha+\sin \beta \sin \alpha=\frac{4}{5}$ ，

$$ \cos \beta \cos \alpha-\sin \beta \sin \alpha=-\frac{4}{5} $$

两式相加得 $2 \cos \beta \cos \alpha=0$ ．

$$ \because 0<\alpha<\beta \leq \frac{\pi}{2}, \quad \therefore \beta=\frac{\pi}{2} $$

$$ \therefore[f(\beta)]^{2}-2=4 \sin ^{2} \frac{\pi}{4}-2=0 \text {. } $$