2015_省自主命题（福建）
11．已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线F M $l : 3 x - 4 y = 0$ 交椭圆于 两点．若E A B, $\left| A F \right| + \left| B F \right| = 4$ ，点 到直线 的距离不小于M l $\frac { 4 } { 5 }$ ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）EA． (0, $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ]$ B． (0, $\frac 3 4 ]$ C $[ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 )$ D $[ \frac { 3 } { 4 } , 1 )$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】A
【解析】设左焦点为 $F$ ，连接 $\mathcal { A } F _ { 1 }$ $B { F } _ { 1 }$ .则四边形 $B F _ { 1 } A F$ 是平行四边形，故 $\left| \mathcal { A } \bar { F _ { 1 } } \right| = \left| \mathcal { B } \bar { F } \right|$ ，所以$\left| . 4 F \right| + \left| . 4 F _ { 1 } \right| = 4 = 2 a$ ，所以 $a = 2$ $M ( 0 , \dot { b } )$ $\frac { 4 b } { 5 } \geq \frac { 4 } { 5 }$ $\dot { b } \geq 1$ ，从而 $\boldsymbol { a } ^ { 2 } - \boldsymbol { c } ^ { 2 } \geq 1$ $0 < c ^ { 2 } \leq 3$ $0 < c \leq \sqrt { 3 }$ ，所以椭圆E的离心率的取值范围是 $( 0 , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ]$
【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式
【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将 $\left| A F \right| + \left| B F \right| = 4 \sharp \sharp \left| \mathscr { k } \mathscr { H } \right| + \left| A F \right| = 4 = 2 a$ ，进而确定a 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量 $a , b , c$ 满足的不等量关系，以确定 $\frac { c } { a }$ 的取值范围