（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 设函…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【答案】：a=-1（Ⅱ）极小值f(1)=3

【解析】：（Ⅰ）因 $f ( x ) = a \ln x + { \frac { 1 } { 2 x } } + { \frac { 3 } { 2 } } x + 1$ ，故 $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { a } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 }$ 由于曲线$y = f ( x )$ 在点(1.f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 0$ ，从而$a - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 3 } { 2 } } = 0$ ，解得a=-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $f ( x ) = - \ln x + { \frac { 1 } { 2 x } } + { \frac { 3 } { 2 } } x + 1 ( x > 0 )$ $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 }$
$= { \frac { 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 } { 2 x ^ { 2 } } } = { \frac { ( 3 x + 1 ) ( x - 1 ) } { 2 x ^ { 2 } } }$ $f ^ { \prime } ( x ) = 0$ ，解得 $x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 }$ (因 $x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 }$ 不在定义域内，舍去）当 $x \in ( 0 . 1 )$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ 故f(x)在(0,1)上为减函数；当 $x \in ( 1 , + \infty )$ 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ 故f(x)在(1,+∞)上为增函数，故f(x)在x=1 处取得极小值 $f ( 1 ) = 3$ 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力.