11． $\cos 2 A+\cos 2 B+2 \sin C=2, S_{\triangle A B C}=\frac{1}{4}, \cos A \cos B \sin C=\frac{1}{4}$
参考答案
ACD
cos 2 A+cos 2 B+2 sin C=2, S_…——2025 高考数学第 11 题答案解析
2025_新课标 I 卷 (2025)
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【答案】ACD
$$ 1-2 \sin ^{2} A+1-2 \sin ^{2} B+2 \sin C=2, \therefore \sin ^{2} A+\sin ^{2} B=\sin C \text {, A 正确. } $$
对于 B，$A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}=2$ ，B 错．
由 $\sin ^{2} A+\sin ^{2} B=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ ，
$\therefore \sin A(\sin A-\cos B)+\sin B(\sin B-\cos A)=0, ~ \because A, B$ 为锐角，若 $A+B>\frac{\pi}{2}$
则 $\left\{\begin{array}{l}A>\frac{\pi}{2}-B \\ B>\frac{\pi}{2}-A\end{array}, \therefore \sin A>\cos B, \sin B>\cos A, \therefore\right.$ 矛盾，舍去，$A+B<\frac{\pi}{2}$ 也矛盾
$\therefore A+B=\frac{\pi}{2}, \therefore B=\frac{\pi}{2}-A, C=\frac{\pi}{2}, \sin A \cos A=\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \sin 2 A=\frac{1}{4}, \sin 2 A=\frac{1}{2}$
不妨设 $2 A=\frac{\pi}{6}, ~ A=\frac{\pi}{12}, ~ B=\frac{5 \pi}{12}, ~ a=c \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, ~ b=c \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ，
$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b=\frac{1}{2} \cdot c^{2} \cdot \frac{4}{16}=\frac{1}{4}, \therefore c=\sqrt{2}$ ，C 正确．
$\sin A+\sin B=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，D正确．
选：ACD．
点评：解三角形，构造比较巧妙，可以验证出 c 为直角，这个结论起到承上启下的作用，
这个结论选出来才能选出正确的选项。平时多积累一些题型和方法还是很有必要的。
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