2017_浙江卷 (2017)
14．（6 分）已知 $\triangle A B C, A B=A C=4, B C=2$ ，点 $D$ 为 $A B$ 延长线上一点，$B D=2$ ，连结 CD ，则 $\triangle \mathrm{BDC}$ 的面积是 $-\frac{\sqrt{15}}{2}$ —， $\operatorname{com} \angle \mathrm{BDC}=-\frac{\sqrt{10}}{4}$ 。
【分析】如图，取 BC 得中点 E ，根据勾股定理求出 AE ，再求出 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}$ ，再根据 S $\triangle B D C=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}$ 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
【解答】解：如图，取 BC 得中点 E ，
$\because A B=A C=4, \quad B C=2$ ，
$\therefore B E=\frac{1}{2} B C=1, \quad A E \perp B C$ ，
$\therefore \mathrm{AE}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BE}^{2}}=\sqrt{15}$ ，
$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} B C \cdot A E=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{15}=\sqrt{15}$,
$\because B D=2$,
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BDC}}=\frac{1}{2} \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，
$\because B C=B D=2$ ，
$\therefore \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{BCD}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{ABE}=2 \angle \mathrm{BDC}$
在 Rt $\triangle \mathrm{ABE}$ 中，
$\because \cos \angle \mathrm{ABE}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{ABE}=2 \cos ^{2} \angle \mathrm{BDC}-1=\frac{1}{4}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{4}$
【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题