在平面直角坐标系 x O y 中，圆 C 的方程为 x^…——2012 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2012 • 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，圆C的方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-8 \mathrm{x}+15=0$ ，若直线 $y=k x-2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $k$ 的最大值是 $-\frac{4}{3}$ 。。

考点 圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．
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专题 直线与圆．

分析 由于圆C的方程为 $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ ，由题意可知，只需 $(x-4)^{2}+y^{2}=1$ 与直线 $y=k x-$ ：2有公共点即可。
解答 解：∵ 圆 C 的方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-8 \mathrm{x}+15=0$ ，整理得：$(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ，即圆 C 是以（ 4,0 ）为圆心， 1 为半径的圆；
又直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}-2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点， ∴ 只需圆 $C^{\prime}:(x-4)^{2}+y^{2}=1$ 与直线 $y=k x-2$ 有公共点即可。
设圆心 $\mathrm{C}(4,0)$ 到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}-2$ 的距离为 d ，
则 $\mathrm{d}=\frac{|4 \mathrm{k}-2|}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}} \leq 2$ ，即 $3 \mathrm{k}^{2}-4 \mathrm{k} \leq 0$ ，
$\therefore 0 \leq \mathrm{k} \leq \frac{4}{3}$ ．
$\therefore \mathrm{k}$ 的最大值是 $\frac{4}{3}$ ．

故答案为：$\frac{4}{3}$ ．
点评 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为＂$(x-4)^{2}+y^{2}=4$ 与直线 $y=k x-2$ 有公 ：共点＂是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题。