2022_浙江卷
15. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P ( \xi = 2 ) =$ $E ( \xi ) =$ 【答案】 ①. $\frac { 1 6 } { 3 5 }$ ②. $\frac { 1 2 } { 7 } \# \# 1 \frac { 5 } { 7 }$
${ \frac { 1 6 } { 3 5 } } , \ { \frac { 1 2 } { 7 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式求 $P ( \xi = 2 )$ ，由条件求 $\xi$ 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 $\mathrm { C } _ { 7 } ^ { 3 }$ 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有 $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 1 } { + } C _ { 2 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 }$ 种，所以 $P ( \xi = 2 ) = \frac { \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 1 } + \mathrm { C } _ { 2 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } } { \mathrm { C } _ { 7 } ^ { 3 } } = \frac { 1 6 } { 3 5 }$
由已知可得 $\xi$ 的取值有1，2，3，4，
$$ P (\xi = 1) = \frac {\mathrm{C} _ {6} ^ {2}}{\mathrm{C} _ {7} ^ {3}} = \frac {1 5}{3 5}, \quad P (\xi = 2) = \frac {1 6}{3 5}, $$
$$ P (\xi = 3) = \frac {\mathrm{C} _ {3} ^ {2}}{\mathrm{C} _ {7} ^ {3}} = \frac {3}{3 5}, P (\xi = 4) = \frac {1}{\mathrm{C} _ {7} ^ {3}} = \frac {1}{3 5} $$
$$ E (\xi) = 1 \times \frac {1 5}{3 5} + 2 \times \frac {1 6}{3 5} + 3 \times \frac {3}{3 5} + 4 \times \frac {1}{3 5} = \frac {1 2}{7} $$
故答案为： ${ \frac { 1 6 } { 3 5 } } , \ { \frac { 1 2 } { 7 } }$