2017_新课标 II 卷 (2017·理)
17．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin (A+C)=8 \mathrm{si} \mathrm{n}^{2} \frac{\mathrm{~B}}{2}$ ．
（1）求 $\cos \mathrm{B}$ ；
（2）若 $\mathrm{a}+\mathrm{c}=6, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 2 ，求 b ．
【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 $A+C=\pi-B$ ，再利用诱导公式化简 $s i n(A+C)$ ，利用降幂公式化简 $8 \sin ^{2} \frac{B}{2}$ ，结合 $\sin ^{2} B+\cos ^{2} B=1$ ，求出 $\cos B$ ，
②由（1）可知 $\sin \mathrm{B}=\frac{8}{17}$ ，利用勾面积公式求出 ac ，再利用余弦定理即可求出b．
【解答】解：（1） $\sin (A+C)=8 \sin ^{2} \frac{B}{2}$ ，
$$ \begin{aligned} & \therefore \sin \mathrm{B}=4(1-\cos \mathrm{B}), \\ & \because \sin ^{2} \mathrm{~B}+\cos ^{2} \mathrm{~B}=1, \\ & \therefore 16(1-\cos \mathrm{B})^{2}+\cos ^{2} \mathrm{~B}=1, \\ & \therefore 16(1-\cos \mathrm{B})^{2}+\cos ^{2} \mathrm{~B}-1=0, \\ & \therefore 16(\cos \mathrm{~B}-1)^{2}+(\cos \mathrm{B}-1) \quad(\cos \mathrm{B}+1)=0, \\ & \therefore(17 \cos \mathrm{~B}-15) \quad(\cos \mathrm{B}-1)=0, \\ & \therefore \cos \mathrm{~B}=\frac{15}{17} ; \end{aligned} $$
②由（1）可知 $\sin \mathrm{B}=\frac{8}{17}$ ，
$\because \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{ac} \cdot \sin \mathrm{B}=2$ ，
$\therefore \mathrm{ac}=\frac{17}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{ac} \cos \mathrm{B}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \times \frac{17}{2} \times \frac{15}{17}$
$=a^{2}+c^{2}-15=(a+c)^{2}-2 a c-15=36-17-15=4$ ，
$\therefore \mathrm{b}=2$ ．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题