（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=(1+cot…——2010 高考数学第 19 题答案解析

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题．

解：（1）$f(x)=\sin ^{2} x+\sin x \cos x+\cos 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x$

$$ =\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2} $$

由 $\tan \alpha=2$ 得 $\sin 2 \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\frac{4}{5}$ ，

$$ \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=-\frac{3}{5}, $$

所以 $f(\alpha)=\frac{3}{5}$ ．

②由（1）得 $f(x)=\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}$
由 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ 得 $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ ，所以 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$从而 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2} \in\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$ ．

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：（1）$f(x)=\sin ^{2} x+\sin x \cos x+\cos 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x$

$$ =\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2} $$

由 $\tan \alpha=2$ 得 $\sin 2 \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\frac{4}{5}$ ，

$$ \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=-\frac{3}{5}, $$

所以 $f(\alpha)=\frac{3}{5}$ ．
②由（1）得 $f(x)=\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}$
由 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ 得 $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ ，所以 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
从而 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2} \in\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$ ．

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：（1）$f(x)=\sin ^{2} x+\sin x \cos x+\cos 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x$

$$ =\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2} $$

由 $\tan \alpha=2$ 得 $\sin 2 \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\frac{4}{5}$ ，

$$ \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=-\frac{3}{5}, $$

所以 $f(\alpha)=\frac{3}{5}$ ．
②由（1）得 $f(x)=\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}$
由 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ 得 $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ ，所以 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
从而 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2} \in\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$ ．

【解答】
（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ；
（2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、三角函数值域问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题．

解：（1）$f(x)=\sin ^{2} x+\sin x \cos x+\cos 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x$

$$ =\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2} $$

由 $\tan \alpha=2$ 得 $\sin 2 \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\frac{4}{5}$ ，

$$ \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=-\frac{3}{5}, $$

所以 $f(\alpha)=\frac{3}{5}$ ．
②由（1）得 $f(x)=\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}$
由 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ 得 $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ ，所以 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
从而 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2} \in\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$ ．

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：（1）$f(x)=\sin ^{2} x+\sin x \cos x+\cos 2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x+\cos 2 x$

$$ =\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2} $$

由 $\tan \alpha=2$ 得 $\sin 2 \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\frac{4}{5}$ ，

$$ \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=-\frac{3}{5}, $$

所以 $f(\alpha)=\frac{3}{5}$ ．
②由（1）得 $f(x)=\frac{1}{2}(\sin 2 x+\cos 2 x)+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}$
由 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ 得 $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ ，所以 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
从而 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2} \in\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$ ．