19．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ；
（2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．
参考答案
(1) $\frac{3}{5}$; (2) $\left[0, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$