（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=cos ^…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}+\sin x$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）当 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 且 $f\left(x_{0}\right)=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f\left(x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。
解：由题设有 $f(x)=\cos x+\sin x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（I）函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $T=2 \pi$ ．
（II）由 $f\left(x_{0}\right)=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ 得 $\sqrt{2} \sin \left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，即 $\sin \left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{5}$ ，
因为 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ ，所以 $x_{0}+\frac{\pi}{4} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
从而 $\cos \left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1-\sin ^{2}\left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\frac{3}{5}$ ．
于是 $f\left(x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2} \sin \left(x_{0}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2} \sin \left[\left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{6}\right]$

$$ \begin{aligned} & =\sqrt{2}\left[\sin \left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \frac{\pi}{6}+\cos \left(x_{0}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \frac{\pi}{6}\right] \\ = & \sqrt{2}\left(\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}\right)=\frac{4 \sqrt{6}+3 \sqrt{2}}{10} \end{aligned} $$