（18）（本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方行 A…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（I）解法一：

取 CD 的中点 G ，连接 MG ， NG 。
设正方形 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{DCEF}$ 的边长为 2 ，

则 $\mathrm{MG} \perp \mathrm{CD}, ~ \mathrm{MG}=2, ~ \mathrm{NG}=\sqrt{2}$

因为平面 $\mathrm{ABCD} \perp$ 平面 DCED ，

所以 $\mathrm{MG} \perp$ 平面DCEF，
可得 $\angle \mathrm{MNG}$ 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。

因为 $\mathrm{MN}=\sqrt{6}$ ，所以 $\sin \angle N M G=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值

## 解法二：

设正方形 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{DCEF}$ 的边长为 2 ，以 D 为坐标原点，分别以射线 $\mathrm{DC}, \mathrm{DF}, \mathrm{DA}$ 为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴正半轴建立空间直角坐标系如图．

则 $\mathrm{M}(1,0,2), \mathrm{N}(0,1,0)$ ，可得 $\overrightarrow{M N}=(-1,1,2)$ ．

又 $\overrightarrow{D A}=(0,0,2)$ 为平面 DCEF 的法向量，

可得 $\cos \langle\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{D A}\rangle=\frac{\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{D A}}{|\overrightarrow{M N}||\overrightarrow{D A}|}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为

$$ |\cos \langle\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{D A}\rangle|=\frac{\sqrt{6}}{3} . $$

（II）假设直线ME与 BN 共面，

则 $\mathrm{AB} \subset$ 平面 MBEN ，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN
由已知，两正方形不共面，故 $\mathrm{AB} \not \subset$ 平面DCEF。
又 $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$ ，所以 $\mathrm{AB} / /$ 平面 DCEF 。而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，
所以 $\mathrm{AB} / / \mathrm{EN}$ 。
又 $A B / / C D / / E F$ ，
所以 $\mathrm{EN} / / \mathrm{EF}$ ，这与 $\mathrm{EN} \cap \mathrm{EF}=\mathrm{E}$ 矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线．