（6 分）已知向量 a、 b 满足 | a |=1,| b…——2017 高考数学第 15 题答案解析

【分析】通过记 $\angle A O B=\alpha(0 \leqslant \alpha \leqslant \pi)$ ，利用余弦定理可可知 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5-4 \cos \alpha}$ 、
$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5+4 \cos \alpha}$ ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
【解答】解：记 $\angle A O B=\alpha$ ，则 $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$ ，如图，
由余弦定理可得：
$|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{5-4 \cos \alpha}$,
$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5+4 \cos \alpha}$,
令 $x=\sqrt{5-4 \cos \alpha}, y=\sqrt{5+4 \cos \alpha}$ ，
则 $x^{2}+y^{2}=10 ~(x , y \geqslant 1) ~$ ，其图象为一段圆弧 $M N$ ，如图，
令 $z=x+y$ ，则 $y=-x+z$ ，
则直线 $y=-x+z$ 过 $M , N$ 时 $z$ 最小为 $z_{\text {min }}=1+3=3+1=4$ ，
当直线 $y=-x+z$ 与圆弧 $M N$ 相切时 $z$ 最大，
由平面几何知识易知 $\mathrm{z}_{\text {max }}$ 即为原点到切线的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，
也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 $\sqrt{2}$ 倍，
所以 $z_{\max }=\sqrt{2} \times \sqrt{10}=2 \sqrt{5}$ ．
综上所述，$|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值是4，最大值是 $2 \sqrt{5}$ ．
故答案为： $4 , 2 \sqrt{5}$ ．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题。