（12 分）（2008•四川）在 ABC 中，内角 A ,…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】（I）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得 $\sin \mathrm{C}=-\cos \mathrm{A}$ 。进而求得 C 和 A 的值。
（II）由余弦定理求得 b 的表达式，根据基本不等式求得 $\cos \mathrm{B}$ 的范围，进而求得 $\sin \mathrm{B}$ 的大值。
【解答】解：（I ）由题设及正弦定理，有 $\sin ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{2} \mathrm{C}=2 \sin ^{2} \mathrm{~B}=1$ ．
故 $\sin ^{2} \mathrm{C}=\cos ^{2} \mathrm{~A}$ ．因为 A 为钝角，所以 $\sin \mathrm{C}=-\cos \mathrm{A}$ ．
由 $\cos A=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}-C\right)$ ，可得 $\sin C=\sin \left(\frac{\pi}{4}-C\right)$ ，得 $C=\frac{\pi}{8}, \quad A=\frac{5 \pi}{8}$ ．
（II）由余弦定理及条件 $\mathrm{b}^{2}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}\right)$ ，有 $\cos \mathrm{B}=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}}{4 \mathrm{ac}}$ ，
因 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2} \geq 2 \mathrm{ac}$,
所以 $\cos \mathrm{B} \geqslant \frac{1}{2}$ ．
故 $\sin \mathrm{B} \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
当 $\mathrm{a}=\mathrm{c}$ 时，等号成立。从而， $\sin \mathrm{B}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了三角函数与不等式基础知识的结合。