（15）（本小题共 13 分） 已知函数 f(x)=sin…——2008 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（共13分）
解：（I ）$f(x)=\frac{1-\cos 2 \omega x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 \omega x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2} \cos 2 \omega x+\frac{1}{2} \\ & =\sin \left(2 \omega x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2} \end{aligned} $$

因为函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，且 $\omega>0$ ，
所以 $\frac{2 \pi}{2 \omega}=\pi$
解得 $\omega=1$ ．
（ II ）由（I）得 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$ ．
因为 $0 \leqslant x \leqslant \frac{2 \pi}{3}$ ，
所以 $-\frac{\pi}{6} \leqslant 2 x-\frac{\pi}{6} \leqslant \frac{7 \pi}{6}$ ．
所以 $-\frac{1}{2} \leqslant \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1$ ．
因此 $0 \leqslant \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2} \leqslant \frac{3}{2}$ ，即 $f(x)$ 的取值范围为 $\left[0, \frac{3}{2}\right]$